Que provas você conhece para a desigualdade das médias aritmética e geométrica?

Question

Há várias provas, qual a que você conhece? A que mais gosto é uma baseada no fato de e^x >= x para todo real x, com igualdade se, e somente se, x = 0.

Answer 1

Na verdade não conheço nenhuma prova, mas vou tentar esboçar uma aqui.

Podemos separar em dois casos:

Caso 1- todos os termos iguais

Chamemos os termos de x, e seja n o número de termos (n>=2). Assim temos que:

Média Aritmética de = x+x+...+x / n =x/n + x/n + .. + x/n =n*x/n = x

Média Geométrica = raiz n de x*x*...*x = raiz n de x * raiz n de x * ... * raiz n de x = (raiz n de x )^n = (raiz n de x^n ) = x

Logo temos que :

Média Aritmética = Média Geométrica


Caso 2 - termos diferentes

Chamemos os termos de x1,x2, ... , xn e seja n o número de termos (n>=1). Assim temos que:

Média Aritmética = (x1+x2+...+xn)/n = x1/n +x2/n+ ... +xn/n
Média Geométrica = raiz n de x1*x2*...*xn = raiz de x1 * raiz de x2*...*raiz de xn

Suposição:

Nós temos intuitivamente a noção que:
raiz n de x1<=x1/n e raiz n de x2 <= x2/n,..., raiz de xn<=xn/n
e consequentemente:
Média Aritmética >= Média Geométrica

Mas precisamos provar isso. Para isto, basta provar que para um x qualquer:

raiz n de x<=x/n (?)
Elevando ambos os termos a n:
x <= (x/n)^n

log a na base b <= c <-> b^c <= a

log x na x/n >= n

Mudando para base e:

log x na base e / log (x/n) na base e >= log n na base e
log x na base e / [log x na base e - log n na base e]>= log n na base e
1 /[ log x na base e - log n na base e]>= log n na base e / log x na base e
1 /[log n na base e / log x na base e ]>= log x na base e - log n na base e
1 *[ log x na base e/log n na base e ]>= log x na base e - log n na base e
[ log x na base e/log n na base e ]>= log x na base e - log n na base e
[log x na base e/log n na base e] >=log x/n na base e






Logo temos que:

Média Aritmética >= Média Geométrica para n>=1

Kisses

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