Integral de Lebesgue, podem me ajudar?

Question

Seja (X, M, m) um espaço de medidas (X um conjunto, M uma sigma-álgebra definida em X e m uma medida definida em M) e seja (f_n) uma seqüência de funções integráveis, definidas em X e com valores nos complexos, que convirja uniformemente em X para uma função f. Mostre que, se m(X) < oo, então f é integrável e lim Integral f_n dm = Integral f dm.

Mostre que esta conclusão pode falhar se m(X) = oo.

Eu tentei mas me enrolei. Podemos usar o T. da Convergência Dominada?

Este é o fórum adequado para este tipo de assunto?

Obrigada

Answer 1

Oi Marta

Este não é mesmo o fórum adequando para este tipo de pergunta. Mas, por acaso, eu conheço um pouco de Teoria de Medidas. Conheço 2 provas para este teorema, vou apresentar uma que me parece mais interessante.

Seja eps >0 arbitrariamente escolhido. Como f_n -> f uniformemente, o Critério de Cauchy implica a existência de um k tal que n >= k => |f_n - f_k| < eps => |f_n| < |f_k| + eps, do que deduzimos que a cauda de ordem k de (f_n) é dominada pela função |f_k| + eps. Como f_k é integrável, |f_k| também é. E como m(X) < oo, segue-se que Int (|f_k| + eps) dm = Int|f_k| dm + eps m(X) < oo. Logo, |f_k| + eps é integrável. Como a cauda de ordem k de (f_n) também converge para f, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue implica, então, que f seja integrável e que lim (n >= k) Int f_n dm = Int f dm. No membro da esquerda temos a cauda de odem k de (Int f_n dm). Como esta cauda converge para Int f dm, a seqüência toda converge para o mesmo limite, tendo-s portanto que

lim Int f_n dm = Int f dm, como desejado.

Vamos agora mostar que a condição de m(X) < oo é mesmo essencial. Para isto, faça X = [0, oo), M a sigma-álgebra de Lebesgue e m a medida de Lebesgue. Então, m(X) = oo. Defina

f_n(x) = c_n(x)/n, sendo c a função característica de [0, n]. Então, dado eps >0, se fizermos k =1/eps, para todo n >k temos que

se x está em [0, n], então f_n(x) = 1/n < 1/k < eps,
se x >n, então f_n(x) = 0 < eps, do que concluimos que f_n -> 0 uniformente em [0, oo). Assim, f = 0 e Int f dm = 0.

Mas, para cada m, Int f_n dm = 1/n * n = 1 e, portanto,

lim Int f_n dm = 1 >0 = Int f dm, o que nos mostra que a condição de que m(X) < oo é de fato essencial para o teorema. O meu exemplo é muito parecedo com o que Ksoileau apresentou.

Recomendo o grupo de matemática do Google, sci.math, onde há top dogs em teoria de medidas.

Abraços.
Steiner

[e-mail]. br

Answer 2

Considere f_n(x)=1/n para x dentro (n, 2n), 0 em outra parte para n=1,2,3... então o lim f_n=0 uniformemente na linha real, assim f=0. Nota seguinte esse lim f_n=1 integral mas lim f=0 integral.

Answer 3

Sinto dizer que este não é o lugar mais adequado para esse tipo de pergunta, principalmente devido a uma insuficiência do alfabeto que este site reconhece. Mas existem comunidades no site de relacionamentos "Orkut" das quais participam professores muito competentes tente as do IME, ITA, ou Mathematics.