Questão sobre triangulo, me ajudem!!?

Question

Dá-se um triangulo ABC de lados a=15, b=8 e c=12. Sobre o lado "a" marca-se um ponto D, e, a seguir, liga-se o ponto D ao ponto A. Fazendo-se DB=p, DC=q, e AD=x e sabendo-se que p/q=1/2, calcular x.


Não consigo achar o x alguem pode me ajudar, eu realmente preciso também da resolução

Answer 1

Cara amiga :

Primeiramente , vamos encontrar o valor de (p) , ok ?

Como DB = p ---> DC = 15 - p = q

Mas p/q = 1/2 , então :

p/(15 - p) = 1/2 --> produto dos meios = produto dos extremos

2p = 15 - p

2p + p = 15 ---> 3p = 15 ---> p = 15/3 ---> p = 5

Temos : p = 5 e q = 15 - 5 = 10

Agora , para encontrarmos o valor de AD ( = x ) , podemos utilizar o Teorema de Stewart no triângulo ABC com os dados fornecidos :

c².q + b².p - x².a = a.p.q

Substituindo : c -->12 ; q -->10 ; b -->8 ; p -->5 ; a -->15 , na equação acima , teremos :

12².10 + 8².5 - x².15 = 15.5.10

144.10 + 64.5 - 15x² = 750

1440 + 320 - 15x² = 750

15x² = 1440 + 320 - 750

15x² = 1010

x² = 1010/15

x² = 67,333...

x = \/ 67,333...

x = 8,205689

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À parte :

O segmento de reta AD é denominado CEVIANA do triângulo ABC , pois , é o segmento de reta que vai de um vértice (A) em direção ao lado oposto (BC). O ponto D , onde a ceviana encontra o lado oposto recebe o nome de PÉ DA CEVIANA . O nome ceviana é uma homenagem ao matemático João Ceva .

Um abraço e procure votar na melhor resposta p/ vc , ok?

Answer 2

Há um teorema, cujo autor no momento não me lembro (faz 30 anos que estudei geometria), que se aplica ao seu caso. Considerando-se os segmentso orientados, isto é, convencionando-se que DB = - BD, temos que:

(AB^2)/(BD * BC) + (AD^2)/(DB * DC) + (AC^2)/(CD * CB) =1
Com base nos dados fornecidos, temos então que

144/(p * 15) - x^2/(pq) + 64/(q * 15) = 1
144/(15p) - x^2(pq) + 64/(15 q) = 1 (1)
Além disto, temos que
p + q = 15
p/q = 1/2 => q = 2p
Assim, substituindo em cima
3p = 15 => p = 5 e q = 15 - p = 10 temos agora p e q definidos. Substituindo em (1), temos

144/75 - x^2/50 + 64/150 = 1 Multiplicando a equação por 150, para facilitar, chegamos a

288 - 3x^2 + 64 = 150 => 3x^2 = 202 => x = raiz(202/3) =~ 8.205689083

Se tiver dúvidas, me mande um email

Há, achei lá em casa, O teorema é o de Stewart