Problema interessante de triângulo, podem me ajudar?

Question

Em um triângulo ABC, os lados medem BC =a, AC = b e AB = c. Uma reta tangente ao círculo inscrito no triângulo intersecta os lados AB e AC nos pontos M e N, respectivamente. Determine o perímetro do triângulo AMN em função de a, b e c.

É só o que é dado. Não estã faltando informações? O ponto de tangência da reta com o círculo inscrito não está bem definido.

Obrigado

Answer 1

Não estão faltando dados. Na resolução você verá que não :)
Queremos o perimetro P do triangulo AMN. Sejam AM = x, AN = y e MN = z.
Assim P = x + y + z.
Note que a circuferencia está inscrita no quadrilatero BMNC. Existe uma relação entre os lados de um quadrilatero circunscrito numa circunferencia: a soma dos lados opostos é igual, ou seja, BC + MN = CN + BM. Note também que CN = AC - AN e BM = AB - AM, ou seja,
CN = b - y e BM = c - x.
Assim temos:
BC + MN = CN + BM
a + z = b - y + c - x
z + y + x = b + c - a
x + y + z = b + c - a
P = b + c - a
Assim o perimetro do triangulo AMN em função de a, b e c é b + c - a.

Espero que tenhas entendido!

:)

Answer 2

Não, Edson, não está faltando nenhuma informação. O problema está perfeitamente determinado. O perímetro do triângulo AMN independe do ponto no qual a citada reta tangencia o círculo.

Faça uma figura (aqui não dá). Seja C o círculo inscrito em ABC. Veja que C, embora exterior a AMN, também tangencia seus lados. Ou seja, C é um dos 3 círculos ditos exinscritos ao triângulo AMN. Vamos agora utilizar as propriedades envolvendo triângulos e os círculos inscritos e exinscritos aos mesmos.

Sejam P o perímetro de ABC e p o de AMN. Do ponto de vista de AMN, o segmento AM vai de seu vértice A até o ponto em que a reta suporte de AM tangencia o círculo C, exinscrito a AMN. Conforme sabemos da geometria, este segmento iguala-se ao semiperímetro de AMN. Temos, portanto, que

p/2 = AM => p = 2AM (1)

Do ponto de vista de ABC, o segmento AM vai de seu vértice A até o ponto em que a reta suporte de AM tangencia o círculo C, inscrito em AMN. Conforme sabemos da geometria, este segmento é dado pela diferença entre o semiperímetro de ABC e o lado oposto ao vértive A, ou seja, o lado BC. Assim,

AM = P/2 - BC = P/2 - a = (a + b + c)/2 - a = (b + c - a)/2 (2)

De 1 e 2 temos então que

p/2 = (b + c - a)/2 => p = b + c -a.

Logo, o problema está perfeitamente definido. O perímetro de AMN INDEPENDE do ponto de tangência da reta com o círculo C, inscrito em ABC.

Agora, se o problema tivesse pedido os lados de AMN, então, aí sim, precisaríamos do ponto de tangência. Mas o perímetro de AMN independe deste ponto.

Answer 3

Seja o triângulo ABC qualquer.
- proposição: O ângulo externo à um vértice é a soma dos demais ângulos do triângulo.
Seja E o angulo externo em A. Como A é suplementar a E,
A + E=180°
Também é fato que A+B+C = 180°.
Comparando as igualdades, E = B+C.
-----
Seja ABC reto em B.
Do teorema anterior, em A temos:
E = B+C
Mas B é reto -> B=90°
E = 90° + C
Como C tem que ser obrigatóriamente 0