Seqüência de polinômios, como provar isso?

Question

Gostaria de ajuda para o seguinte:

Mostre que uma seq¨^encia de polinômios definidos em (0, 1) não pode convergir uniformemente para f(x) = sen(1/x)

Obrigada

Answer 1

Polinômios são funções contínuas em toda a reta real. Apresentam, assim, limite finito em x = 0, logo em x = 0+, sendo este limite o termo independente do polinômio. Assim, se a citada seqüência de polinômios convergir uniformemente em (0, 1) para alguma função f, então, segundo conhecido teorema da Análise, f apresenta limite finito em x = 0+.

(Se f_n é uma seqüência de funçoes definidas em um conjunto D, que apresentam limite em um ponto de acumulação a de D e que converge uniformemente em D para uma função f, então f apresenta limite em D e lim (x--> a) f(x) = lim (lim ( x--> a) f_n(x)) )

Mas a função f(x) = sen(1/x) não apresenta limite em x =0+, fica oscilando e não tende para nenhum valor quando x --> 0+. Logo, esta função não pode ser, em (0, 1) o limite uniforme de uma seqüência de polinômios.