Considerando a sucessão 1, 3, 6, 10, 15 ... Qual é o Centésimo número que aparecerá ??

Answer 1

O primeiro número é 1; o segundo 1+2; o terceiro, 1+2+3, o quarto, 1+2+3+4... e assim sucessivamente. Logo, o centésimo número na série será (1+2+3+......+98+99+100).
E como calcular essa soma toda? Basta usar um truque. Somando o primeiro e o último termos da série, temos 1+100=101. O segundo com o penúltimo dá 2+99=101. O terceiro com o antepenúltimo, 3+98=101, e assim por diante. Logo, temos 50 pares de números que somados dão 101, então o resultado total é 101 x 50 = 5050.

Answer 2

Na realidade, conhecendo-se apenas um número finito de termos de uma seqüência, há infinitas soluções. Mas, no caso, acredito que quem propôs o problema estivesse pensando no caso em que as diferenças entre dois termos consecutivos estão em progressão aritmética. Isto é, uma seqüência tal que a_n - a_(n -1) = a_(n-1) - a_(n-2) + r, n>2

Assim,

a_3 - a_2 = a-2 - a_1 + r
a_4 - a_3 = a_3 - a_2 + r = a_2 - a_1 + 2r
a_5 - a_4 = a_4 - a_3 + r = a_2 - a_1 + 3r
.
.
a_n - a_(n-1) = a_2 - a_1 + (n-2)r

Somando-se estas n-2 igualdades, obtemos

a_n - a_2 = (n-2) (a_2 - a_1) + (1 + 2 + ...(n-2))r

a_n = (n-1)* a_2 - (n-2)*a_1 + (n-2)(n-1)*(r/2)

No caso, a_1 = 1, a_2 = 3 e r = 1, de modo que
a_n = 3n - 3 - n + 2 +(n-2)(n-1)/2= 2n - 1 + (n-2)(n-1)/2 = (4n - 2 + n^2 - 3n + 2)/2 = (n^2 +n)/2, justamente a soma dos n primeiros naturais. Neste caso, é facil ver diretamente que isto ocorre. Mas a fórmula geral é esta que foi deduzida;

Fazendo n =110, obtemos 5050.