Podem me ajudar com este limite?

Question

lim ( x--> oo) x (e - (1+1/x)^x).

Obrigada

Answer 1

=== Solução ===

Seja:
A = lim x(e - (1+1/x)^x)

Multiplicando e dividindo por x:
= lim x²(e - (1+1/x)^x)/x

Aplicando o operador D(derivada) e l'Hôpital:
= lim D[x²(e - (1+1/x)^x)] / D[x]

Derivando:
= lim x².( (1+1/x)^x . (1/(1+x) - ln(1+1/x)) )+2.lim x(e-(1+1/x)^x)
= lim x².( (1+1/x)^x . (1/(1+x) - ln(1+1/x)) ) + 2A

Logo -A = lim x².( (1+1/x)^x . (1/(1+x) - ln(1+1/x)) ), ou:
A = lim x².( (1+1/x)^x . (ln(1+1/x) - 1/(1+x)) )
= lim (1+1/x)^x . (x²ln(1+1/x) - x²/(1+x))
= lim (1+1/x)^x . lim (x²ln(1+1/x) - x²/(1+x))
= e . 1/2
= e/2


=== Resposta ===

lim x(e - (1+1/x)^x) = e / 2
x→∞



=== Notas ===

Nota 1:
lim       é aqui escrito apenas como "lim"
x→∞

Nota 2:
lim (1+1/x)^x = e
x→∞
Mostrar isto aparece como exercício resolvido em um dos links abaixo.

Nota 3:
É um bom exercício - e um desafio! - mostrar que:
lim x²ln(1+1/x) - x²/(1+x) = 1/2
x→∞

Segue a solução:
lim x²ln(1+1/x) - x²/(1+x) =
= lim (ln(1+1/x) - 1/(1+x)) / (1/x²)
= lim D[ln(1+1/x) - 1/(1+x)] / D[1/x²]
= lim ( (-1/x²)/(1+1/x) + (1/(1+x)²) ) / (-2/x³)
= lim (x/(1+1/x) - x³/(1+x)²)/2
= lim (x²/(1+x) - x³/(1+x)²)/2
= lim ( (x²(1+x) - x³)/(1+x)² ) / 2
= lim ( (x² + x³ - x³)/(1+x)² ) / 2
= lim ( x²/(1+x)² ) / 2
= lim ( 2x/(2x + 2)) / 2
= lim ( 2/2 ) / 2
= 1 / 2
 
 

Answer 2

Você já obteve uma resposta com base na Regra de L'Hopital. Vou dar agora outra solução.


Veja que (1 + 1/x)^x = e ^( x ln(1 + 1/x)). Sabemos que, para x em (-1, 1], a função ln(1 + y) pode ser desenvolvida em série de Taylor, tendo-se que

ln(1 +y) = y - y^2/2 + y^3/3 - y^4/4 ....= Soma(n= 1, oo) (-1)^(n+1) * y^n/n

Assim, para x ->1, temos que

ln(1+ 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + /(3x^3)....Conforme sabemos da Análise, isto implica que

ln(1+ 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + o(1/x^3), onde o(h) significa uma função tal que lim ( h-> 0) o(h)/h = 0. Assim, lim (x ->oo) o(1/x^3)/(1/x) = lim (x -> oo) x o(1/x^3) = 0. Desta forma, para x suficientemente grande, podemos usar equivalências, isto é:


x * ln(1+ x) = x (1/x - 1/(2x^2 +o(1/x^3) )) ~ x * (1/x - x/(2x^2) = 1 - 1/(2x).

Sabemos também que, para y ->0, temos que e^y =1 + y +o(y^2). Assim, para x -> oo, temos que

(1 + 1/x)^x ~e ^( x ln(1 + 1/x)) ~ e~(1 - (1/2x) = e * e^(-1/2x) = e (1 - 1/(2x)). Desta forma, a expressão [e - (1 + 1/x)^x] equivale no infinito a e - e (1 - 1/(2x)) = e/(2x). Ou seja, no infinito [e - (1 + 1/x)^x] ~ e/(2x).

Temos assim que calcular lim (x --> oo) x/(e/2x) = e/2

O limite proposto pelo Alberto pode ser resolvido através deste tipo de equivalência.

Complementação:

Para determinaro limite que o Alberto propôs, podemos também fazer o seguinte:

lim x²ln(1+1/x) - x²/(1+x) = 1/2 (x --> oo)

Já vimos que ln(1 + 1/x) ~ 1/x - 1/(2x²). Assim,
x²ln(1+1/x) - x²/(1+x) ~ x - 1/2 - x²/(1+x) = 1/2 + (x² + x - x²)/(1 + x) = - 1/2 + x/(x +1). Como x/(x +1) --> 1 quando x --> oo, segue-se que o limite é -1/2 + 1 = 1/2.