Dúvida de Matemática - Conjuntos?

Question

Preciso de ajuda sobre como resolver o seguinte problema:
"Qual o maior inteiro "n" para que 3^n (três elevado a "n") divida o produto
20*19*18*17*16*15*14*13*12* 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 ?"
Agradeço a atenção

Answer 1

Voce quer o maior valor de n para o qual 3^n divida 20!. Para isto, precisamos determinar qual o expoente de 3 na decomposição de 20! em fatores primos.

Vamos inicialmente contar quantos inteiros de 2 a 20 contem o fator primo 3 com expoente exatamente igual a 1. Tais números incluem-se dentre os múltiplos de 3, e são da forma 3 *m, onde m não é múltiplo de 3. Assim, de 2 a 20, temos 3, 6, 12, e 15, logo 4 números.

Agora, vamos contar quantos números inteiros de 2 a 20 tem 3 com expoente 2 na sua decomposição em fatores primos. Temos apenas 3 X 3 = 9, 3 X 6 = 18 e mais nenhum. Logo, 2 números;

Como 3^3 = 27 >20, não há, de 2 a 20, nenhum inteiro cuja decomposição em fatores primos contenha o 3 com expoente igual ou maior que 3.

Assim, temos 4 números com o fator 3 com expoente 1 e 2 números com o fator 3 com expoente 2. Isto implica que, em sua decomposição em fatores primos, 20! contenha o fator 3 com expoente 4 + 2 X 2 = 8. Logo, para todo inteiro positivo n <= 8, 3^n divide 20! A nossa resposta é, portanto, 8.

Answer 2

O maior inteiro que satisfaz a o problema é n = 8, pois:
20! = 2^x * 3^n * 5^y * 7^z * 11 * 13 * 17 * 19 (fatoração de 20!) com:
x inteiro, t.q. x esta entre 0 e 18
n inteiro, t.q. x esta entre 0 e 8
y inteiro, t.q. x esta entre 0 e 4
z inteiro, t.q. x esta entre 0 e 2

Como o interesse é encontrar o maior "n" t. q. 3^n seja verdadeiro para n= 18 temos a resposta!!