Exercício de mecãnica?

Question

A aceleração de um ponto material é definida por a = -kv², onde a é dado em m/s² e v em m/s. O ponto material parte de x = 0 com velocidade de 20m/s quando x =100m a velocidade vale v = 15m/s. Determinar a distãncia percorrida pelo ponto (a) até sua velocidade atingir 10m/s e (b) até o repouso.

Eu tava fazendo que a = v.dv/dx mas não tá dando.
Alguémm???

Thanks.

PS: Respostas (a) 241m e (b) infinito

Answer 1

=== Solução ===
a = v'
v' = - kv²

A solução de y' = f(y) é ∫ dy/f(y) + C (ver link [1]). Logo:

v = -∫ dv/kv²
v = - 1/kv
s = ∫ v
s = C - ln(v)/k

São dados s(20) = 0 e s(15) = 100. Substituindo esses valores, temos:
(1) 0 = C - ln(20)/k
(2) 100 = C - ln(15)/k

Isolando C em (1) e substituindo em (2);
(ln(20) - ln(15))/k = 100
k = (ln(20) - ln(15)) / 100 ≈ 0,002877
C ≈ 1041,334362

Ou seja:
s = 1041,334362 - ln(v)/0,002877


———— ———— ———— ———— ————
a) Qual o valor de s(10)?
s = 1041,334362 - ln(v)/0,002877
s = 1041,334362 - ln(10)/0,002877
s ≈ 241 m


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b) Qual o valor de s(0)?
s = 1041,334362 - ln(0)/0,002877
s = - ∞



=== Campanha ===
Por favor, escolha a MELHOR resposta: correta (sem erros), completa (responde completamente à pergunta), informativa (acrescenta informações adicionais) e corroborada por fontes de pesquisa (pra não parecer chute).
 
 

Answer 2

Temos que a = dv/dt. Logo, dv/dt = -kv^2, a qual é uma equação diferencial de variáveis separáveis, equivalente a

dv/v^2 = -k dt. Integrando ambos os membros, obtemos

-1/v = -kt + C, onde C é uma constante de integração. No instante inicial t = 0, temos v = 20m/s. Logo,

-1/20 = -k * 0 + C => C = -1/20 = -0,05. Assim,

-1/v = -kt - 0,05 => v = 1/(kt + 0,05), que é a expressão da velocidade em função do tempo.

Para termos v = 10 m/s, precisamos ter 1/(kt + 0,05) = 10 => kt + 0,05 = 0,1 => t = t* = 0,05/k. Este tempo depende, portanto, da constante k, que não foi explicitada e que assumo ser positiva.

Vemos ainda que v decresce com t, mas nunca se anula. Temos que lim (t -> oo) v = 0, logo leva-se um tempo infinito para zerar a velocidade (em termos informais, matematicamente, v nunca se anula).

Precisamos agora determinar x em função de t. Dado que temos v em função de t, basta integrarmos v de 0 até um tempo t. Assim, observando que x = x0 = 0 quando t= 0, temos que:

x - x0 = x = Integral ( 0 a t) 1/(ks + 0,05) ds. Conforme sabemos do cálculo,

x =1/k [ln(ks + 0,05)] [de 0 a t] = 1/k [ln(kt + 0,05) - ln(0,05)] ou

x = (1/k) ln((kt + 0,05)/0,05) = (1/k) ln(20 kt +1)

Desta expressão, vemos imediatemente que, quando t -> oo, x--> oo, o que nos mostra que o corpo percorrerá distância infinita té alcançar o repouso (matematicamente, isto nunca ocorre).

Vimos que, para alcançar a velocidade de 10m/s, o corpo leva o tempo t* = 0,05/k. Entrando-se com este valor na expressão de x, obtemos x* = (1/k) ln(20 kt* +1) = (1/k) ln(20k *0,05/k +1) = (1/k) ln(2), ainda em função da constante k.

Mas nos é dado que, quando x = 100m, v = 15m/s. Isto ocorre no instante t' tal que

100 = (1/k) ln(20k t' + 1) => 20k t' + 1 = exp(100k) => t' = (exp(100k) -1))/20k. Entrando com t' na equação de v, obtemos

15 = 1/(kt' + 0,05) => kt' + 0,05 = 1/15 => (exp(100k) -1))/20 = 1/15 - 0,05 => (exp(100k) -1) = 20/15 -1 => exp(100k) = 4/3 => k = ln(4/3)/100. Isto nos permitiu determinar a constante k.

A distância até alcançar a velocidade de 10m/s, conforme vimos , é x* = (1/k) ln(2) = 100 ln(2)/ln(4/3) =~ 240,9 m Ufa, bateu!

Abraços
(espero que tenha dado para entender, fiz correndo não deu para melhorar)

Answer 3

Teorema da energia cinetica não resolve??