Problema de PA que não consegui resolver!?

Question

Estava tentando resolver um exercício de PA e não consegui... se alguém manja dessa matéria, poderia me ajudar? O exercício é o seguinte:

(OSEC-SP) – Dada a PA onde ap = c, aq = b, com q > p, ap + q, vale :

A.(bq - pc) / (q - p)
B. c + b
C. (b - c) / (q - p)
D. (bq+ pc) / (q - p)
E. bc

Eu não consigo colocar em subscrito e nem alterar a questão, por isso vou reescrevê-la:

(OSEC-SP) – Dada a PA onde a_p = c, a_q= b, com q > p, a_p + q, vale :

A.(b*q - p*c) / (q - p)
B. c + b
C. (b - c) / (q - p)
D. (b*q+ p*c) / (q - p)
E. b*c

Obs: No termo geral da PA, têm-se:

a_n = a_1+ (n-1)*r. No exercício "p" e "q" seriam o "n" do termo na PA e eles entram na resposta sim.

O enunciado é só isso, não sei se tem erro, pois peguei num site... como os outros exercícios não tinham erro nenhum, confiei que esse tbém não tivesse.

Lá não fala qual é a razão da PA e nem quais são os outros termos.

Tirei essa questão desse site http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Exercicios/Pa01/pa01.htm e o exercício é o de número 17.

Obrigada!

Answer 1

=== Problema ===

Puxa, o problema era com a página, que está muito mal escrita. Mas a sua dica, mencionando índices, me fêz finalmente compreender qual a questão:

Dada uma
PA = {a(0), a(1) a(2), ..., a(p), ..., a(q), ..., a(p+q), ...},
de razão r, se a(p) = c e a(q) = b, para q>p, quanto vale a(p+q)?


=== Solução ===
O termo geral de uma PA que começa com a(0) e tem razão r é:
a(n) = a(0) + nr

Portanto:
a(q) = a(0) + qr = b
a(p) = a(0) + pr = c

Que formam o sistema linear
(1) a(0) + qr = b
(2) a(0) + pr = c

Com o qual podemos deduzir os valores de a(0) e r. Calculando (1)-(2) obtemos:
(q-p)r = b-c
(3) r = (b-c)/(q-p)

Substituindo (3) em (1) - poderia ser em (2) - obtemos:
a(0) + qr = b
a(0) + q(b-c)/(q-p) = b
a(0) = b - q(b-c)/(q-p)
a(0) = [b(q-p) - q(b-c)] / (q-p)
a(0) = (bq - bp - bq + cq)/(q-p)
(4) a(0) = (cq - bp)/(q-p)

Agora fica fácil calcular a(p+q):
a(n) = a(0) + nr
(5) a(p+q) = a(0) + (p+q)r

Substituindo (3) e (4) em (5):
a(p+q) = a(0) + (p+q)r
a(p+q) = (cq - bp)/(q-p) + (p+q)(b-c)/(q-p)
a(p+q) = (cq - bp + bp - cp + bq - cq)/(q-p)
a(p+q) = (bq - cp)/(q-p)


=== Resposta ===

a(p+q) = (bq - cp)/(q-p)

Letra A.


=== Adendo ===

Iniciar a progressão com a(0) simplifica muito os cálculos, neste caso. Como se vê, a expressão INDEPENDE do termo inicial da PA.

Se escolhêssemos que a progressão iniciasse em a(1), o termo geral seria:
a(n) = a(1) + (n-1)r

Ou então que iniciasse em a(m), o termo geral seria:
a(n) = a(m) + (n-m)r

Isto complicaria muito os cálculos literais. Por isto é melhor escolher que a progressão inicie em a(0).
 
 

Answer 2

Menina, o enunciado está ininteligível. ap é a índice p? Se for, escreva a_p ou a(p) para não dar confusão. Em qualquer pedido de ajuda é fundamental que o enunciado esteja claro. Em detalhes adicionais esclareça estes pontos e tento ajudar depois.

Answer 3

aq=b
a(q-1)=b-d
.....
ap=a[q-(q-p)]=b-(q-p)·d=c --> d=(b-c)/(q-p)

a(p+q)= c+q·(b-c)/(q-p)
a(p+q)=[c·(q-p)+q·(b-c)]/(q-p)
a(p+q)=(bq-pc)/(q-b)

A)

Saludos.