Função do 2° grau - Numa função desse tipo com coeficiente de x² positivo ( concavidade voltada para cima ),

Question

Função do 2° grau - Numa função desse tipo com coeficiente de x² positivo ( concavidade voltada para cima ), as coordenadas do vértice, particularmente o "y do vértice" será sempre o valor mínimo da função ?
Esse é o caminho certo ? Existe alguma restrição ?
Esse é o único caminho ou o "Cálculo diferencial e integral" nos oferece um caminho melhor nesse caso específico de parábola ?

Solução por derivada feita pela "Samara":

F(x) = y = x² - 3x + 14
Derivada = F'(x) = y' = 2x - 3
Isto é,
2x - 3 = 0 (declividade nula)

x = 3/2
x = (3/2) Esse é o x do ponto de mínimo; isto é x = 1,5

Substituindo em F(x)= y = x² - 3x + 14
F ( 1,5 ) = 2,25 - 4,5 + 14
F ( 1,5 ) = y = 11,75

O ponto míniimo da função será y igual a 11,75.

Na verdade esse ponto míniimo é o vértice de coordenadas V ( x ; y ) é V(1,5 ; 16,25 ).
fim da solução usando derivadas feito pela "Samara". A "comunidade de língua portuguesa do Yr' e eu pessoalmente, agradecemos a Samara

Agradecemos a ótima explicação dada por "Steiner" em meu nome e em nome de toda comunidade de língua portuguesa que irá se beneficiar dessas explicações "ad eterno" e vamos aproveitar para resolver usando o que nos foi agora ensinado.


f'(x) = 0
2ax + b = 0
2ax = -b
x = -b/ 2a
x = 3 / ( 2 vezes -1) = 3/ 2 = 1,5
x do vértice = 1,5

Calculando o o y do vertice temos:
y = a*(-b/2a)² + b*(-b/2a) + c
y = b²/4a - b²/2a + c
y = (b² - 2b² + 4ac )/4a
y = (-b² + 4ac)/4a
y = -Delta / 4a onde Delta = b² - 4ac
Delta = 9 - ( 4 vezes 1 vezes 14 )
Delta = 9 - 56 = - 47 ( uma curiosidade que não afetará a resposta: A parábola não corta o eixo de x, isto é, não tem raízes reais )

y do vértice = - Delta / ( 4. a ) = 47 / ( 4 vezes 1 ) = 47 / 4 = 11,75

Esse ponto mínimo é o vértice de coordenadas V ( x ; y ) que é V ( 1,5 ; 11,75 ) Observe que a resposta orientada pelo "Steiner" ( de agora ) deu o mesmo resultado orientado pela "Samara" usando derivadas.

Essa questão e todas as outras antigas sobre esse assunto poderão ser acessadas digitando Função do 2° grau no "Buscar perguntas" e depois é só clicar em "Buscar" e todas as perguntas ficarão a sua disposição. Escolha uma e terás todas as respostas dessa sua escolhida , juntamente com a melhor resposta. A comunidade do yr de língua portuguesa agradece a boa vontade de todos.
Estamos escrevendo uma enciclopédia popular a ser acessada "ad eterno" por todos que delas precisarem. Muito obrigado.

Answer 1

Sim, sempre. Isso sempre ocorre, não há nenhuma exceção.

Não entendi o que você quer dizer por "caminho certo". Se for o caminho para se deduzir isto, o cálculo diferencial oferece uma forma extremamente rápida de chegarmos a esta conclusão. Aliás, para máximos e mínimos, o cálculo diferencial é o processo natural, em muitos casos não chegamos lá sem cálculo.

No caso da parábola, a conclusão citada pode ser obtida sem o Cálculo, mas é mais trabalhoso.

Sem usar cálculo, devemos determinar os valores de y tais que ax^2 + b*x + c = y tenha solução(ões) reais. Isto equivale a ax^2 + b*x + c -y =0. Haverá soluções reais se o discriminante D for >= 0. Como D = b^2 - 4a(c -y) , devemos ter b^2 - 4a(c -y) >= 0 => b^2 - 4ac + 4ay >=0 => 4ay >= 4ac - b^2 = -d, sendo d o discriminante de a*x^2 + b*x + c. Logo, ay >= -d/4. Se a>0, então obtemos y>= -d/4a, do que deduzimos que -d/4a é o menor valor que y pode assumir. Por outro lado, se a <0, então temos que y <= -d/4a, do que deduzimos que -d/4a é agora o maior valor que y pode assumir. Isto prova o que vc disse sobre a concavidade; a >0, tem mínimo, a <0 tem máximo. E se entrarmos com y = -d/4a, obtemos x = -b/2a, ou seja o ponto de máximo ou demínimo, vértice da parábola, ocorre sempre para x = -b/2a

Se vc já souber um pouco de cálculo, sabe que o polinômio p(x) = ax^2 + bx + c tem derivada p'(x) = 2ax + b, aqual se anula para x = -b/2a, exatamente o ponto que concuimos anteriormente. Além disto, a segunda derivada é p''(x) = 2a, logo positiva se a >0 e negativa se a <0. Conforme sabemos do Cálculo, temos mínimo no 10 caso e máximo no segundo. Chegamos, assim, bem mais rapidamente à mesma conclusão anterior.

Espéro ter ajudado.

Answer 2

na parábola só vai existir um ponto extremo, que é de mínimo ou máximo.
vc consegue descobrir esse ponto sem o conhecimento de cálculo, mas fica mais fácil descobrir com o conhecimento de derivadas.....

Answer 3

Eu respondi isso em sua questão anterior. Pois é um clássico problema de máximos e mínimos, muito explorado no cálculo diferencial;