Qual a fórmula do termo geral desta PA?

Question

Este problema é interessante, para quem gosta de matemática:

Determine o termo geral de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a <> 0 (diferente de 0) sabendo que a relação entre a soma dos n primeiros termos e a soma dos n termos seguintes independe de n.

Answer 1

=== Solução ===

O termo geral e a soma dos n primeiros termos de uma PA são, respectivamente:
a(n) = a(1) + (n-1)r
s(n) = n(a(1) + a(n))/ 2

A soma dos n termos seguintes é:
s(n+1,2n) = n(a(n+1) + a(2n)) / 2

Queremos determinar o termo geral da PA para a qual
a(1) = a e s(n+1,2n)/s(n) independe de n.

Expressando a razão s(n+1,2n)/s(n) em função de a:
R = s(n+1,2n)/s(n) = (n(a(n+1) + a(2n))/2) / (n(a(1) + a(n))/2)
= (a(n+1) + a(2n)) / (a + a(n))

Substituindo na fórmula acima os valores de a(n), a(n+1) e a(2n), que são dados respectivamente por:
a(n) = a + (n-1)r
a(n+1) = a + nr
a(2n) = a + (2n-1)r

Temos:
R = (a + nr + a + (2n-1)r) / (a + a + (n-1)r)
= (2a + (3n-1)r) / (2a + (n-1)r)

Como R independe de n, R = ka + b.
(2a + (3n-1)r) / (2a + (n-1)r) = ka + b
2a + (3n-1)r = 2a(ka + b) + (n-1)r(ka + b)
2a + 3nr - r = 2a(ka + b) + nr(ka + b) - r(ka + b)

Para que seja independente de n é necessário que:
3r = r(ka + b)
3 = ka + b = R

Ou seja:
2a + 3nr - r = 6a + 3nr - 3r
2a - r = 6a - 3r
2r = 4a
r = 2a

O termo geral da PA é então:
a(n) = a(1) + (n-1)r
a(n) = a + (n-1)2a
a(n) = 2na - a
a(n) = a(2n - 1)


=== Confirmando ===

Soma dos n primeiros termos e dos n termos seguintes:
s(n) = n(a(1) + a(n))/ 2
s(n+1,2n) = n(a(n+1) + a(2n)) / 2

Substituindo os valores seguintes:
a(1) = a
a(n) = a(2n - 1)
a(n+1) = a(2n - 1) + 2a
a(2n) = a + 2(2n-1)a

Temos:
s(n+1,2n) = n(a(2n - 1) + 2a + a + 2(2n-1)a) / 2
s(n) = n(a + a(2n - 1))/ 2

Ou seja, a razão vale:
R = (n(a(2n - 1) + 2a + a + 2(2n-1)a) / 2) / (n(a + a(2n - 1))/ 2)
R = (a(2n - 1) + 2a + a + 2(2n-1)a) / (a + a(2n - 1))
= (2an - a + 3a + 4an - 2a) / (a + 2an - a)
= 6an / 2an
= 3
como esperado.


=== Resposta ===

Tal PA precisa ter razão 2a e o termo geral é dado por:
a(n) = a(2n - 1)

Como sempre, muitíssimo interessante, Mestre Steiner!
 
 

Answer 2

What should I avoid while taking carisoprodol?

Carisoprodol can cause side effects that may impair your thinking or reactions. Be careful if you drive or do anything that requires you to be awake and alert.
Cold or allergy medicine, narcotic pain medicine, sleeping pills, muscle relaxers, and medicine for seizures, depression or anxiety can add to sleepiness caused by carisoprodol. Tell your doctor if you regularly use any of these other medicines.
Avoid drinking alcohol. It can increase drowsiness and dizziness caused by carisoprodol.


Secure Online Mall : http://soma1.w3org.pw/voqci

Answer 3

Vc só faz pergunta difícil rs

Kisses

=**