Como podemos provar que a função g não é periódica?

Question

Gostaria de ajuda para provar o seguinte:

Suponhamos que f:R -> R seja contínua, não constante e periódica em R. Então, a função g dada por g(x) = f(x^2) não é periódica em R.

Obrigada.

Answer 1

Infelizmente, parece que naquele site que o MPSal sugeriu não se encontra a solução para este problema.

Vamos provar algo mais forte, ou seja, que g não é uniformemente contínua em R. Sabemos que se uma função g for contínua e períódica em R, então g é uniformemente contínua em R. A nossa g é contínua, visto ser a composição de 2 funcões contínuas (g(x) = f(h(x)), sendo h(x) = x^2, uma função contínua). Logo, se não for uniformemente contínua, não pode ser periódica.

Sabemos que uma função g é uniformemente contínua em R se, e somente se, para todas sequências a_n e b_n em R tais que lim (a_n - b_n) =0, tivermos que lim(g(a_n) - g(b_n)) = 0. Vamos mostrar que isto não ocorre para a nossa g.

Como f é contínua, periódica e não constante, f possui um período mínimo (também conhecido por período fundamental) p > 0. Como f não é constante, existem reais a e b tais que f(a) <> f(b). Definamos a_n = raiz(a + p*n) e b_n = raiz(b + p*n) . Conforme sabemos, temos então que lim (a_n - b_n) = 0, propriedades da função raiz quadrada. Por outro lado, para todo n temos que g(a_n) = f((a_n)^2) = f(a + p*n) = f(a), visto que p é período de f. Logo g(a_n) converge para f(a), visto ser uma seqüência constante com todos os termos iguais a f(a). De modo similar, g(b_n) converge para f(b), o que implica que lim (g(a_n) - g(b_n) = f(a) - f(b) <>o, pois f(a) <> f(b).

Assim, existem seqüências a_n e b_n tais que lim(a_n - b_n ) = 0 mas lim(g(a_n) - g(b_n)) <> 0, o que nos mostra que g não é uniformemente contínua em R.

Pelo que vimos, isto implica também que g não seja periódica em R.

Answer 2

Dê uma olhada nesse site:

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/periodica/fperiodica.htm

té+