duvidas sobres series de potência?

Question

porque que somatorio de n variando de 1 ao infinito de 1/n² é convergente e somatório de n variando de 1 ao infinito de 1/n é divergente

Answer 1

1/n² é uma p-série e converge, pois p = 2 >1, se p < 1 diverge,mas se p = 1 não se pode afirmar nada, logo podemos recorrer a outros metodos, nos aplicamos o teste da integral na série harmônica 1/n e obtemos que o limite = mais infinito, logo diverge já que o teorema relata que a série converge se, e somente se, aintegral impropria converge.

Answer 2

Uma forma fácil de vermos isto e pelo teste da integral.Os termos de Soma /n são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x >0 por f(x) =1/x. E os de Soma 1/n^2 são obtidos aplicando-se aos naturais a função definida para x > 0 por g(x) = 1/x^2. Tanto f como g são positivas e decrescentes para em (0, oo). Nesta condições, as séries convergem se, e somente se, as integrais de 1 a oo das funções que as geram convergem.

Temos que Integral (1 a oo) f(x) dx = Integral (1 a oo) 1/x dx = ln(x) [ 1 a oo] = oo, pois ln(x) vai para oo com x. Logo, a série Soma 1/n (série harm|ônica) diverge.

Por outro lado, Int (1 a oo) g(x) dx = Int (1 a oo) 1/x^2 dx =- 1/x [1 a oo] = 1, pois 1/x tende a zero quando x -> oo. Logo, a séries 1/n^2 converge.

Há outros métodos para mostrar isso, no caso e Soma 1/n^2 podemos determinar o limite, é uma expressão envolvendo pi da qual agora não me lembro ...

No caso de séries do tipo Soma 1/n^p,podemos mostrar que divergem se p <=1 e convergem se p >1. Se p <0 a conclusão é imediata. Se p> 0, podemos aplicar o teste da integral.