Como mostrar que 2 e 4 são os únicos inteiros positivos distintos tais que x^y = y^x?

Question

De modo mais formal, como podemos provar que as únicas soluções inteiras, positivas e não triviais (isto é, com x diferente de y) da equação (diofantina) x^y = y^x são os pares (2, 4) e (4,2)?

Diz-se que uma equação é diofantina se for requerido que suas soluções sejam números inteiros

Answer 1

É claro que (y,y) é solução para cada inteiro positivo y.

Suponhamos que 1 <= x < y e que x^y = y^x.

Se x = 1, então 1^y = y^1 ==> y = 1 (solução inválida pois estamos supondo que x < y).

Se x = 2, então 2^y = y^2 ==> y = 4 (a solução y = 2 não é válida pois estamos supondo que x = 2 < y).

É fácil provar por indução que, para y>=5 (ou seja, x>=3), 2^y >y^2 :

Assim, suponhamos que 3 <= x< y.

Considere a função f:[3,+inf) -> R dada por f(x) =
log(x)/x ==>
f'(x) = (1 - log(x))/x^2 < 0 para x >= 3 ==>
f é monótona decrescente ==>
para 3 <= x < y, log(x)/x > log(y)/y ==>
y*log(x) > x*log(y) ==>
x^y > y^x ==>

A única solução (x,y) com x < y é (2,4).



(Repetindo o processo para 1<=y

Kisses

=**