-Provar que as retas de equações(m² +6m+3)x-(2m²+18m+2)y-3m+2=0 onde m é uma variável real,passam pelo mesmo

Question

ponto.

Answer 1

A equacão pode ser reescrita como (x + 2y)m^2 + (6x + 18y -3) m +3x + 2y + 2 =0. Para x e y fixos, temos uma equação do 2o grau em m. Se algum ponto (x, y) for comum a todas as retas, então a equação em m é satisfeita para todo real m. Como temos um polinômio em m, isso significa que ele é identicamente nulo, ou seja, tem todos os coeficientes nulos.

Assim, se houver um ponto (x, y) que satisfaça simultaneamente a

x + 2y = 0
6x + 18y -3 = 0
3x + 2y + 2 = 0, teremos provado o que foi pedido.

Da primeira equação, x = -2y. Substituindo na segunda , vem -12y + 18y - 3 = 0 => 6y = 3 => y =1/2. Logo, x = -1. Fazendo-se x = -1 e y = 1/2 na última equação, obtemos
-3 + 1 + 2 = 0, de modo que (-1, 1/2) satisfaz também à última equação (poderíamos ter feito isso por determinantes, mas acho que daria mas trabalho).

Fica assim demonstrado que todasas retas da família dada passam pelo ponto (-1, 1/2)

Answer 2

nao tenho resposta