Qual é A soma dos 4 termos que formam a P.A é 20, e o produto do segundo pelo terceiro termo é 21. Determine:

Question

Determinar a P.A

Answer 1

respondendo...
Seja a PA(a1,a2,a3,a4)

Sn=20
a2.a3=21

Sn =(a1+a4)4/2
2(a1+a4) = 20

a1+a4 = 10
a2.a3=21

Coloque as duas equações em função de a1 e R:
(i): a1+a1+3R = 10
(ii): (a1+R)(a1+2R)=21
Em (i):
2a1+3R=10 =>a1 =5-3R/2
Em (ii):
(5-3R/2+R)(5-3R/2+2R)=21
(5 -R/2)(5+R/2)=21
5² -(R/2)² = 21
R²/4 = 4
R = ±√16 = ±4
Para R= -4:
a1 = 5 - 3R/2 = 5 + 6 = 11
PA(11,7,3,-1)

Para R=+4:
a1 =5 - 3R/2 = 5 - 6 = -1
PA(-1,+3,+7,+11)

A resposta depende da informação de que a PA é crescente ou decrescente, mas a resposta é essa.
Um abraço!

Answer 2

Seja 2r a razão da PA e sejam seus termos x -3r, x -r, x +r e x +3r. A soma dos 4 termos é, então, 4x. Temos, portanto, que 4x = 20 => x =5. O segundo e o terceiro termos são x -r e x + r. Assim,

(x -r)(x +r) = x^2 - r^2 = 25 - r^2 = 21 => r^2 = 4 => r = + ou - 2.

Se escolhermos r =2, a razão da PA é 4 e temos uma PA crescente, cujos termos são -1, 3, 7, 11. Se escolhermos r = -2, então a razão é -4 e temos uma PA decrescente, com os mesmos termos anteriores, agora na ordem inversa: 11, 7, 3, -1.

Em problemas de PA com um número par de termos, é usualmente mais simples reprsentar os termos da forma como eu fiz aqui.

Answer 3

Progresão Aritmética: Un = U1 + (n-1)r
1º Termo: U(n-1)
2º Termo: U(n)
3º Termo: U(n+1)
4º Termo: U(n+2)

Sn = [Un + U(n+1)] * n/2
S4 = 2U(n) + 2U(n+1)
20 = 2U(n) + 2U(n+1)
10 = U(n) + U(n+1)

Sistema de equações
Un * U(n+1) = 21
U(n+1) = 21 / Un

Un + U(n+1) = 10
Un + 21/Un = 10
(Un)^2 + 21 = 10 Un
(Un)^2 - 10 Un + 21 = 0
Un = 3

U(n+1) = 21/3
U(n+1) = 7

Sabemos que Un = 7 e U(n+1) = 3, logo r (razão) = 7-3 = 4

U(n-1) = 3 - 4 = -1

Progresão Aritmética: Un = U1 + (n-1)r

Un = -1 + (n-1)4
Un = -1 + 4n -4
Un = 4n - 5

Resposta:

Un = 4n - 5

Answer 4

Pergunta repetida hihih

Bom ai segue minha resposta:

Soma dos 4 termos = 20

Sejam a1,a2,a3 e a4 os termos. Então temos:

a1+a2+a3+a4 = 20

Seja r a razão da PA. Podemos escrever a expressão acima como:

a1 + (a1+r) + (a1+2r) + (a1+3r) = 20
4a1 + 6r = 20
2a1 + 3r = 10
2a1 = 10-3r
a1 = (10-3r)/2 (1)


a2 * a3 = 21
(a1+r) * (a1+2r) = 21

Substituindo (1):

[(10-3r)/2 + r ]*[ (10-3r)/2 + 2r ] = 21
[(10-3r+2r) /2] * [ (10-3r + 4r) /2 ] = 21
[(10-r) /2] * [ (10+ r) /2 ] = 21
[(10-r)*(10+r)] /4 = 21
[(10-r)*(10+r)] = 84

Usando a propriedade: (a+b)(a-b) = a² - b²

100 - r² = 84
100-84 = r²
r² = 16
r' = 4
r" = -4


a1 = (10-3r)/2
a1' = (10-3*4)/2
a1' = (10-12)/2 = -1

a1" = (10-3*-4)/2
a1" = (10+12)/2 = 11


Assim temos duas PA´s possíveis:
PA' = (-1, 3, 7, 11) [razão r´= 4 -> crescente]

Soma dos 4 termos = -1+3+7+11 = 20 (OK)
a2*a3 = 3*7 = 21 (OK)

PA" = (11, 7, 3, -1) [razão r"= -4 -> decrescente]
Soma dos 4 termos = 11+7+3-1 = 20 (OK)
a2*a3 = 7*3 = 21 (OK)




Kisses

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