Logarítmos?

Question

Desenvolvam a resposta:

(Log x na base 2)^3 - 12(Log x na base 2) = -11

a) 1/8
b) 1/4
c) 1/2
d) 4
e) 8

Correta: A

Answer 1

pra começar tem que fazer uma substituição de variável como a seguinte
(log x na base 2 )=y
ficando a equação assim
y^3 - 12y= -11
y^3 - 12y +11 = 0
Utilize somente a raiz real e use a definição de logaritmo
(log a na base b) = c <==> (se ,e somente se) b^c = a
Para a nossa equação x = 2^y

Answer 2

Dei uma olhada primeiro no que ocorria quando tentava substituir cada uma das alternativas. Nenhuma delas respeita a igualdade.
Basta ver que 1/8 = 2^(-3) e portanto log na base 2 de 1/8 é -3: que não respeita a equação.
A uma solução dessa equação é x=2.
Vejamos:
faça y = Log x na base 2
daí:
y³-12y+11=0
Pelo teorema das raízes racionais, se essa equação tiver solução racional ela está no conjunto {-1,+1,-11,+11} (que são os divisores de 11 divididos pelos divisolres de 1.
Dando uma testadinha, temos y=1 o que leva à x=2¹ = 2
Calculando as outras raízes:
y³-12y+11=0
(y-1)(y²+y-11)=0
As raízes de (y²+y-11) são 0,5 +- 1,5 * Raiz(5)
que levam x = 2^(0,5 +- 1,5 * Raiz(5))

Answer 3

Nenhuma das opções está correta. Se y = log x(base 2), então temos que y^3 - 12y + 11 = 0, e y = 1 é uma das raízes deste polinômio. Neste caso, temos que logx(2) = 1 e x =2, que não coincide com nenhuma das respostas.

Dividindo o polinômio pelo binômio y -1, obtemos a equação y^2 + y -11 = 0, cujas raízes são

y1 = (-1 + raiz(45))/2 e y2 = (-1 - raiz(45))/. Assim, há duas outras soluções, quais sejam, 2^y1 e 2^y2, e nenhuma coincide om qualquer das opções dadas.