Alguém sabe?

Question

A lei abaixo representa o crescimento de uma população de bactérias, que se reproduz rapidamente em um laboratório de pesquisas: N (t) = a * 2 ^ bt, onde a e b são constantes reais. Sabendo que no início da observção havia 3.000 bactérias e que após duas horas de observação havia, 48.000, determine:
a) o tempo mínimo necessário para que o número de batérias seja maior que 3 milhões. Use 2 ^ 10 ~ 10 ^ 3.
Obrigado!!!

Answer 1

no início:
3000 = a*2^b0
3000 = a

em 2 horas:
48000 = 3000 * 2^(b*2)
16 = 2^(b*2)
2^4 = 2^(b*2)
4 = b*2
2 = b

achar o tempo onde N = 3x10^6
3*10^6 = 3000 * 2^(2*t)
10^3 = 2^(2t)
como 2^10 ~~ 10^3
2^10 = 2^(2t)
10 = 2t
t = 5

em 5 horas o numero de bacterias sera 3 milhões!

Answer 2

No início, t = 0, temos

N(0) = a * 2^0 = a = 3000. Assim, determinamos a.

Após 2 horas, temos N(2) = a * 2^(2b) = 3000 * 2^(2b) = 48000. Assim, 2^(2b) = 4^b = 16 => b = log(16) (base 4) = 2.

Nossa equação é, portanto, N(t) = 3000 * 2^(2t)

Para termos N(t) > 3000000, precisamos ter 2^(2t) > 3000000/3000 = 1000, pois funcões exponenciais de base maior que 1 são estritamente crescentes. Logo, 2t > log (1000) (base 2) Adotando-se a aproximação sugerida, 1000 =~ 2^10, concluimos que 2t > log(2^10) (base 2) = 10, ou seja t > 5.

Observe que, da forma como o enunciado foi colocado, não há tempo mínimo, pois foi especificado número de bactérias maio que 3 milhões e não maior ou igual a 3 milhões. Sendo t* o valor prciso do tempo para o qual N(t*) = 3000000, pata todo t> t* n(t) > 3000000, e não existe o menor número real maior que t*. podemos nos aproximar de t* tanto quento quisermos sem atngi-lo,

Acho importante observar este detalhe, enunciados devem ser precisos.