Como podemos interpretar corretamente o paradoxo de Tarski Banach?

Question

Este é um dos mais intrigantes paradoxos da matemática. De modo informal, é como se pudéssemos dividir uma laranja em alguns gomos e reorganizá-los obtendo-se uma esfera com o diâmetro do Sol!

Qual a correta interpretação deste paradoxo que, ao menos aparentemente, choca-se até mesmo com as leis básicas da Física? Ele tem a ver com o que, em Teoria de Medidas e Integração de Lebegue, chama-se de conjunto não mensurável.

Gostaria de ter opiniões sobre este assunto. Desde já agradeço as contribuições

Answer 1

Nós nos deparamos com o paradoxo de Banach-Tarski no dia-a-dia, Steiner. Basta ir ao cinema !...

A projeção de slides e filmes é uma aproximação muito interessante do paradoxo de Banach-Tarski: a pequena imagem do diapositivo se torna gigantesca.

Todas as vezes que lidamos com infinidades, os paradoxos aparecem. O teorema original faz uma bola (um subconjunto de R³) se transformar em duas bolas idênticas à original. E o números de pedaços é ridicularmente pequeno: bastam 5.

Isto só é possível com sólidos matemáticos, que são contínuos, ou seja, constituídos de infinitos pontos. Pois cada um dos 5 pedaços NÃO tem volume. Cada um do 5 pedaços é formado por infinitesimais partes da bola original e, com translações e rotações, obtém-se 2 bolas com a mesma densidade infinita da bola original.

Para compreender isto, basta pensar no conjunto dos números naturais, que é infinito:
1, 2, 3, 4, ...

Vamos dividí-lo em 2 sub-conjuntos, também infinitos:
1, 3, 5, 7, ...
2, 4, 6, 8, ...

É isso mesmo: pares de um lado e ímpares de outro. Agora veja essas duas funções:
f1(i) = (i + 1) /2
f2(p) = p/2

A função f1 leva, BIUNIVOCAMENTE, cada um dos ímpares aos naturais e a função f2 faz o mesmo com os pares. Se a proporção é de 1 para 1, então eles têm o mesmo "tamanho" (o nome técnico é cardinalidade). Uma esfera matemática é, assim como os naturais, constituída de infinitos pontos. O que fiz foi dividir minha "esfera" - os naturais - em duas esferas idênticas !... BINGO!

Na verdade, pode ser facilmente demostrado que um subconjunto dos reais (digamos, o intervalo de 0 a 1) tem uma cardinalidade MAIOR que a dos naturais.

Como a divisão Banach-Tarski só pode ser feita com entidades matemáticas (não é possível dividir uma laranja e reorganizar as partes de forma a obter uma esfera do tamanho do Sol COM A MESMA DENSIDADE da laranja original), acho que uma boa interpretação do paradoxo Banach-Tarski é a seguinte:

O paradoxo Banach-Tarski é a melhor prova indireta da natureza quântica da realidade espaço-temporal. Se a realidade fosse contínua, nós poderíamos dividir uma bola em duas outras idênticas à original. O milagre da multiplicação do pães seria um exercício banal !...

Vou deixar aqui uma curiosidade adicional:
O paradoxo Banach-Tarski só pode ser provado pela aceitação de um axioma - o axioma da escolha. É um axioma porque não pode nem ser provado nem ser desmentido. E esta frase : "não pode nem ser provado nem ser desmentido", já foi provada !!!

Nos links abaixo você encontrará material para leitura posterior. Infelizmente, em inglês.
 
 

Answer 2

O que é a ilusão da lua?
A assim chamada "ilusão da lua" ou "efeito da lua" tem intrigado as pessoas desde os tempos históricos mais antigos, pelo menos tão cedo quanto o século 7 AC. É descrita em manuscritos antigos Gregos e Chineses. Aristóteles a menciona em 350 AC.

A lua parece maior em tamanho angular quando está próxima do horizonte que quando está alta no céu. Algumas pessoas julgam que ela parece dobrar de tamanho, mas a estimativa comum é de 50% a 75% maior no horizonte que no zênite.

Este não é um efeito pequeno. O Sol exibe a mesma ilusão, mas olhar o Sol diretamente a olho nu é perigoso sem as precauções adequadas, assim vamos deixá-lo fora desta discussão. A mesma ilusão é observada com qualquer objeto extenso no céu, como uma constelação.


O que ela não é
Nós sabemos que este fenômeno não é um efeito físico ou atmosférico, como pode ser demonstrado facilmente fotografando a lua no céu a várias elevações e comparando seu tamanho nos negativos. O tamanho angular da lua é quase constante, a lua subtende aproximadamente 0.5 grau no céu. Também é possível verificar isto com instrumentos de observação.
Um efeito físico real faz o tamanho angular da imagem da lua na retina ser aproximadamente 2% menor quando ela está no horizonte, comparado a seu tamanho ao zênite. Isto é devido ao fato de que a lua está um raio da terra mais distante quando observada no horizonte. Esta mudança de tamanho de zênite para horizonte é muito menor, e no sentido oposto do efeito da. Uma mudança em quantidade tão pequena não é grande o bastante para ser notada com nosso sistema visual sem auxílio de instrumentos.

Algumas pessoas supõem que o efeito da lua se deve à refração atmosférica. Efeitos de refração podem ser medidos com instrumentos ou máquinas fotográficas, e nós de fato descobrimos que a refração faz o disco da lua subtender um ângulo menor no céu que teria se a atmosfera não estivesse presente. E estes efeitos de refração fazem o diâmetro angular horizontal aparente da lua ainda menor (em aproximadamente 1,7 por cento) quando a lua está perto do horizonte! Estes efeitos físicos podem ser confirmados com telescópios e máquinas fotográficas.

O diâmetro angular vertical da lua ao horizonte é ainda menor, fazendo a lua parecer "achatada". Ao horizonte a luz tem que atravessar uma distância maior em nossa atmosfera do que quando a lua está mais alta no céu. Esta mudança de tamanho também é oposta (e muito menor que) a ilusão da lua psicológica!

A razão pela qual a atmosfera faz o disco da lua parecer menor é interessante em si mesmo. Considere olhar para uma estrela diretamente acima. O raio de luz desta estrela toma o caminho AO para o observador em O. Ele atravessa a atmosfera sem refração, ao longo da linha radial AC. Outra estrela em uma elevação mais baixa envia luz ao longo da linha DF que, é refratada continuamente ao longo da linha curvada FO, seu caminho dobrando-se para a linha radial BC, finalmente alcançando o observador em O. Mas o observador julga a direção deste raio como estando ao longo da linha OE, que perfaz um ângulo menor com AO que com a linha DF. Então a separação angular das estrelas parece menor que seria se a atmosfera não estivesse presente. Este diagrama é exagerado. No caso da lua, a separação angular das extremidades da lua é muito menor (em torno de meio grau), mas o mesmo princípio se aplica.

Astrônomos entendem estes efeitos de refração atmosférica muito bem, e têm que compensar precisamente por eles enquanto interpretam dados de telescópios apontados a várias elevações no céu.


Explicações inadequadas propostas
Para voltar à ilusão da lua, muitos especuladores de poltrona propuseram explicações para ela. Algumas destas explicações, há muito tempo desacreditadas, ainda aparecem em livros de ensino. Muitas delas invocam mecanismos visuais ou cognitivos que têm alguma relevância à ilusão da lua. Alguns destes mecanismos modificam a ilusão da lua, tornando-a mais forte e mais fraca, mas não são suficientes por si mesmos para responder pela ilusão da lua completa e forte que a maioria das pessoas experimenta.

Nota: Algumas pessoas relatam que não percebem a ilusão da lua de forma alguma. A literatura sobre a ilusão está largamente calada nas razões para este fato.

Explicações de ilusões devem ser tomadas com o ceticismo apropriado. Muitas são da natureza de "hipóteses plausíveis." A maioria (ainda) não está no estágio em que podem ser verificadas independentemente em termos de processos físicos no cérebro. Além disso, nós sabemos que nossas percepções visuais surgem porque nosso cérebro sintetiza pistas múltiplas. Nosso cérebro pesa estas pistas; algumas dominam em certas condições, enquanto outras são mais "fracas" e são ignoradas. Mas as ponderações do cérebro mudam de intensidade de acordo com a natureza dos estímulos. Muitas ilusões visuais clássicas surgem de pistas sensóriais conflitantes de "força" quase igual. Através de experiências controladas, nós podemos freqüentemente excluir algumas das hipóteses inadequadas sobre ilusões particulares. Mas quando uma pessoa inventa um teste para uma hipótese de ilusão específica, é difícil de evitar introduzir algum outro tipo de ilusão no procedimento.
Consideremos algumas das hipóteses propostas sobre a ilusão da lua. Cada uma será apresentada, seguida de evidência e argumentos a favor e contra.


Ilusão Ponzo
Ilusão de forma. As duas figuras são exatamente do mesmo tamanho, contudo muitas pessoas julgam que a superior seja menor. Mas nem todas as pessoas o fazem. Esta ilusão ilustra como nosso julgamento de forma e tamanho de um objeto pode ser influenciado pelas formas e tamanhos de outros objetos próximos no campo de visão.

Ilusões de forma são bem conhecidas como no exemplo anterior. Sugestões múltiplas no campo de visão podem modificar nossos julgamentos de forma, tamanho, alinhamento, e até mesmo a perfeição de linhas retas. Alguns afirmam que a ilusão da lua não é nada além disto. Uma versão particular desta explicação invoca a ilusão Ponzo. Eu nem mesmo a consideraria merecedora de menção aqui, mas o faço pelo fato de que ainda é vista comumente em livros populares sobre este assunto.

A ilusão Ponzo. Os dois círculos têm o mesmo diâmetro angular. Ainda assim muitas pessoas julgam que o da direita seja menor. As duas linhas retas próximas convergindo influenciam nosso julgamento. Se as linhas são substituídas por áreas negras sólidas, a ilusão permanece.

Quando nós vermos um desenho de, digamos, uma linha de trem retilínea se perdendo no horizonte, nós a interpretamos como se esticando de perto até longe embora seja apenas um padrão de linhas radiais desenhadas em um papel plano a uma distância constante de nossos olhos. Isto é relevante aqui porque nossa experiência com estradas de ferro e estradas nos condicionaram a interpretar estes padrões deste modo dentro. Este é o mapa ou modelo mental contra o qual nós interpretamos outras coisas. Nós podemos desenhar duas figuras pequenas idênticas em tal desenho, digamos um par de discos (sem traços característicos) de tamanho igual, um deles posicionado onde as linhas estão bem-separadas no papel (interpretado como próximo) e o outro colocado onde as linhas convergem ao ponto de fuga no horizonte (interpretado como distante). O cérebro nos diz que o disco onde as linhas são estreitas é o disco maior. Alguns escritores comparam isto à ilusão Ponzo, mas é mais que isso.

A figura mostra linhas convergentes que nós imaginamos como linhas paralelas que convergem em um "ponto de fuga" no horizonte. As duas barras pretas são do mesmo tamanho angular, mas nós pensamos que a B está mais distante, e então muitas pessoas pensam que é "maior." Nem todas as pessoas percebem esta diferença de tamanho, mas ninguém pensa que A é maior. Remova as linhas convergentes, e quase todos julgam as barras como de comprimento igual.

Em minha opinião esta ilusão não é suficiente em magnitude para responder pela ilusão da lua, e sim apenas para modificá-la (e confundir tentativas para estudar a ilusão da lua experimentalmente). Também, encontra as mesmas objeções como quaisquer das outras explicações que dependem de sugestões de referência imediatamente presentes no campo de visão que nós consideramos na próxima seção.
Mas consideração de tais ilusões nos lembra da importância de outros objetos no campo local de visão afetando julgamentos de tamanho e forma. Por "local" eu quero dizer "visualmente contíguo ou adjacente."


Efeitos contextuais; sugestões de referência no campo de visão.

Quando nós julgamos o tamanho de um objeto perto do horizonte nossa percepção é influenciada por objetos terrestres familiares no campo de visão (árvores, casas, estradas). Nós sabemos de experiência cotidiana que muitas das coisas reconhecíveis que nós vemos à distância estão bastante longe. Mas quando nosso olhar estiver direcionado para cima, nós não temos nenhuma pista de referência para distância, e julgamos as coisas perto do zênite como mais próximas que aquelas no horizonte. Ibn Alhazan propôs esta explicação para a ilusão da lua ao redor de 1000 DC.

Algumas experiências parecem apoiar esta explicação.

Imagens residuais de objetos luminosos podem ser produzidas na retina. Seu tamanho aparente depende em onde você olha, sendo menor quando você olha para uma parede em branco, ou para cima no céu, mas maior quando há objetos de comparação em seu campo visual.

Quando uma pessoa olha para a lua perto do horizonte por um buraco em um pedaço de papel segurado a alguma distância em frente ao olho a lua parece menor. O "efeito de horizonte" desaparece em grande parte. A interpretação desta experiência é que o papel obscurece qualquer objeto de referência familiar. Parece mostrar que a ilusão da lua é devida a comparação direta com objetos de referência de tamanho conhecido.

Algumas experiências lançam dúvidas de que estas explicações estejam completas.

A ilusão da lua persiste até mesmo quando ela é vista em uma noite escura em uma planície sem traços característicos, no oceano, e até mesmo por pilotos de linha aérea que voam alto sobre nuvens. Assim objetos de referência de tamanho conhecido não são a única base para a ilusão.

A ilusão da lua desaparece (para a maioria das pessoas) quando elas olham para a lua entre suas pernas, de cabeça para baixo. Ou, se assim desejar, uma pessoa pode ver a lua pendurada pelos pés! Pelo menos duas hipóteses foram propostas para explicar isto. (1) Objetos familiares no campo de visão podem ficar inúteis como referências de distância por causa de sua aparência pouco familiar quando vistos de cabeça para baixo. (2) A ilusão pode ter algo a ver com o mecanismo de equilíbrio de nosso ouvido interno que nos diz se a cabeça está na vertical ou de cabeça para baixo.

O método de ver a lua por um buraco em um pedaço de papel também pode ser usado para ver outros objetos. Eles também, parecem menores quando vistos pelo buraco. Nosso cérebro está usando o papel e o buraco como um objeto de referência fortemente dominante? O objeto de referência próximo é o papel; objetos de referência distantes são escondidos.


Hipóteses com algum de mérito
Algumas explicações propostas têm claramente mérito e estão baseadas em fenômenos visuais experimentalmente verificados. Mas elas também têm "problemas" que previnem que qualquer uma delas seja declarada como a "resposta definitiva."

Um mapa de memória
Percepções são influenciadas por nossa experiência passada. Um modelo de percepção visual postula que quando nós percebemos um fenômeno novo e pouco conhecido nosso cérebro o interpreta comparando-o a um mapa ou modelo mental de nossa memória de experiências sensórias prévias. É claro, isto representa apenas uma das pistas com as quais o cérebro tem que lidar, pesando-a contra outras pistas. Conflito entre pistas sensórias é a base de muitas ilusões visuais comuns.

Nós devemos ter em mente que a ilusão da lua, vista "ao natural" envolve uma comparação da lua no horizonte que é vista no momento com uma memória de uma lua vista acima mais cedo, ou vice-versa. Há aproximadamente seis horas entre a lua no horizonte e a lua acima (mais ou menos, dependendo da inclinação do plano orbital da lua e a estação). Muito freqüentemente discussões obscurecem este ponto importante. Talvez seja mais acurado dizer que nós estamos comparando nossa percepção imediata da lua com todas nossas memórias da luas vistas no passado, sob uma variedade de condições. Nós só temos uma lua, e não podemos observá-la em duas posições ao mesmo tempo.

A maioria dos estudos feitos sob condições controladas pedem que voluntários humanos comparem tamanhos de dois objetos vistos simultaneamente. E ainda assim estes estudos claramente mostram que a ilusão de diferença de tamanho entre objetos acima e objetos no mesmo nível da cabeça ainda está presente. Isto sozinho não desacredite a idéia de um mapa mental, mas mostra que se tal mapa, mecanismo cognitivo, ou modelo mental está envolvido não requer memória a longo prazo, e pode operar até mesmo sem objetos de comparação.

Se há um mapa ou modelo mental, não é preciso assumir que esteja localizado em um lugar particular no cérebro. Muito provavelmente é uma ligação interativa de funções visuais específicas distribuídas em vários lugares no cérebro físico.


O modelo celeste mental
Esta explicação comumente vista postula que nós temos em nossas mentes um mapa ou modelo mental da forma do céu. Nós usamos este modelo como uma superfície de referência em tempo-real para objetos muito distante para pistas de distância estereoscópicas, até mesmo quando não há nenhuma outra sugestão no campo visual para servir como pontos de referência de distância. Este modelo mental não tem o céu na forma de um hemisfério, mas é mais parecido a uma tigeja invertida relativamente rasa. Quando nós vemos algo no horizonte percebemos que está situado em uma porção do céu mais distante que um objeto do mesmo tamanho angular real ao zênite.

A figura mostra a comparação entre uma cúpula de céu esférica e a bacia rasa aparente do céu. Quando um objeto de tamanho constante é visto perto do horizonte em A, e então próximo do zênite em B, nós julgamos que ambos estão na bacia de céu aparente, e então o objeto parece estar em A' e B', com A' estando mais distante que B', sendo então julgado como maior.

Este diagrama é o normalmente visto em livros que apóiam esta hipótese. Mas o diagrama pode ser enganador. A cúpula celeste hemisférica na imagem é bastante irrelevante, e deveria ser omitida, já que sugere falsamente um processo mental de "projetar" a lua sobre aquela cúpula. Isso não é uma parte necessária do processo. O ponto importante do argumento é que nosso julgamento começa com o estímulo da imagem na retina da lua, que é quase exatamente do mesmo tamanho para luas no horizonte ou no zênite. Isto é porque a lua tem quase o mesmo tamanho angular (físico) onde quer que esteja no céu. Assim nós assumimos que um objeto deste tamanho retinal está na cúpula de céu perceptual. Essa cúpula é percebida como mais distante ao horizonte que em cima.
Isto é o mesmo que dizer "Qual é nosso julgamento de tamanho real de duas coisas a distâncias percebidas diferentes, embora elas tenham o mesmo tamanho angular?". A resposta é que aquele pressuposto como mais próximo é julgado como menor. Esta conclusão é consistente com a conclusão de que a lua de horizonte está mais distante de nós.

Este processo opera até mesmo (especialmente) na ausência de qualquer outra pista visual. Mas o processo se torna confuso quando nós temos nossas cabeças em uma posição incomum. Este pode ser o resultado de nosso conhecimento da orientação de nossa cabeça, de sugestões visuais, e talvez de informação dos mecanismos de equilíbrio de nosso ouvido interno. Quando há sugestões sensórias em disputa, nosso julgamento de tamanho angular pode ser alterado por elas, que podem responder pelos resultados confusos de experiências projetadas para mostrar que sugestões visuais são a razão única para o efeito da lua.

Qualquer hipótese que depende de um modelo mental do céu requer que nós temos algum modo para saber, pelo menos aproximadamente, qual direção é "para cima."


O que está errado com este modelo de cúpula de céu mental como uma explicação da ilusão da lua?
Um leitor de uma versão anterior deste documento assumiu erradamente que eu estava promovendo e defendendo o modelo do céu-cúpula como uma explicação da ilusão da lua. Essa não era de forma alguma minha intenção, assim eu tenho que deixar mais claro neste ao mostrar a objeção óbvia. Deixe-me ser bem claro. A evidência para a ilusão do céu como uma tigela invertida é, em minha visão, abundante e inegável, e deve estar envolvida se vamos entender a ilusão da lua. Porém, usá-la como acima, como uma explicação da ilusão da lua é enganoso.

Considere um argumento igualmente plausível usando o céu-cúpula. Nós sabemos que a lua cheia exibe constância de aparência não importa onde esteja no céu. É a mesma lua onde quer que nós a vejamos. Poucas pessoas, quando perguntadas, diriam que a lua realmente muda seu tamanho físico como um balão esvaziando enquanto se move para cima no céu. Nós adultos concordamos que a lua tem uma constância de tamanho (as crianças podem discordar). Se nós observarmos a lua em um céu estrelado, a maioria das pessoas diz que a distância aparente da lua e estrelas circunvizinhas é o mesmo. Todos estão situados em uma "cúpula de céu" achatada. Se isso é assim, então a lua acima deveria ser julgada como maior em tamanho angular, já que está em uma porção do céu que é julgada como mais próxima de nós.

Comparando estas duas hipóteses com conclusões contraditórias nos leva a ver a insuficiência de ambas, e o vazio deste tipo de argumento. Força-nos a examinar o que nós queremos dizer por "distância", "tamanho", e "tamanho angular." Nós voltaremos depois a este ponto. Esta confusão não invalida a percepção do céu-cúpula, mas revela os perigos em tentar usar uma ilusão (a cúpula do céu) para explicar outra (a ilusão da lua).

Eu odeio sugerir isto, mas muitos dos argumentos sobre a lua e ilusões de céu são similarmente falhos, e parecem apenas apresentar jogos verbais ao leitor. Eles "soam bem" mas desabam em exame minucioso.


A hipótese da cúpula celeste achatada examinada
Assim por que nós deveríamos ter este modelo de tigela rasa do céu? Ou, para colocar a pergunta de outro modo, por que nós temos um mecanismo de processo cognitivo (seja o quanto for complexo) o qual em efeito nos dá uma percepção do céu distorcida para se conformar a tal modelo? Foram feitas duas sugestões. (1) O mecanismo está embutido em nossos cérebros, desde que nascemos. (2) O mecanismo é embutido em nossos cérebros através de experiência, em experiências sensórias à luz do dia, de um grande conjunto de pistas visuais na vida cotidiana.

Estudos de crianças de 4 anos até adultos mostraram que a ilusão da lua está presente em crianças, e é mais forte que em adultos. Diminui em força com a idade. [Liebowitz, H. and Hartman, T. "Magnitude of the Moon illusion as a Function of the Age of the Observer." Science, 130,, 569-570]. Este estudo foi feito em lugar fechado em um grande quarto escurecido (nenhuma outra sugestão visual) com luas artificiais a distâncias de 85 pés.

Estudos com crianças podem confundir, já que uma criança freqüentemente tentará tocar um objeto distante, como a lua no horizonte. Crianças ainda não desenvolveram o mesmo modelo mental de espaço visual que os adultos têm. Este estudo sugere que a experiência visual enquanto uma pessoa amadurece para a maioridade modifica a ilusão melhorando nosso julgamento de distâncias horizontais, diminuindo assim a ilusão. Isto lança dúvida séria em qualquer explicação que assume que a ilusão da lua é um resultado de experiência visual e sugere que a própria ilusão é provavelmente inata e presente no nascimento.


Um resultado de processos cognitivos inatos?
A hipótese embutida supõe que a seleção natural moldou aqueles mecanismos cerebrais que processam e interpretam dados sensórios, dedicando mais recursos àquelas coisas que são importantes à sobrevivência. Isto resulta em recursos cerebrais que favorecem mais coisas vistas à nossa frente e menos recursos para coisas vistas em cima. Desequilíbrio semelhante de detalhes de percepção é visto em animais.

Correndo o grande risco de simplificar excessivamente um problema complexo, nós poderíamos dizer que coisas vistas em cima parecem menores em tamanho angular porque nosso cérebro nunca evoluiu recursos adequados para interpretar dados que nós julgamos como "em cima." Esses dados não eram importantes à sobrevivência de nossa espécie. São considerados com menos detalhe e com julgamento menos ponderado de distâncias relativas.


Anisotropia do espaço visual
Luneberg (1947) propôs uma teoria de visão que tentou relacionar o espaço físico com o espaço virtual (perceptual). Ele concluiu que o espaço virtual é não-Euclidiano, que é um espaço Riemanniano de curvatura negativa: um espaço hiperbólico. O espaço visual não tem as mesmas propriedades métricas em todas as direções. (Esta idéia é mencionada aqui para maior profundidade, não para afirmar que Luneberg desenvolveu a idéia completamente e com sucesso, nem que ele a aplicou à ilusão da lua.)

Esta hipótese é muito útil para entender o fato de que todas as linhas de um conjunto de linhas paralelas se parecem retas. Certamente elas não estão retas em nossas retinas, e sua curvatura na retina muda de formas complicadas enquanto nós movemos nossos olhos para esquerda/direita e para cima/baixo. Ainda assima qualquer instante elas parecem perceptualmente retas. Nosso cérebro está continuamente recalculando a imagem de retina para dar uma impressão de retilineidade. Nós moramos em um mundo com muitas linhas retas e paralelas: ruas, paredes, trilhos de trem, etc. Contudo o mecanismo para lidar com o mundo visual evoluiu até sua forma presente muito tempo antes de nossos antepassados experimentarem tais regularidades geométricas. Claramente este processo tem importância mais fundamental à nossa visão que perceber linhas retas "corretamente." Eu não estou argumentando que a retina curvada é a razão para a anisotropia do espaço visual. Estou simplesmente notando que o cérebro tem mecanismos para lidar com a forma da retina, e dinamicamente transformar a imagem em mudança na retina (enquanto os olhos esquadrinham uma cena), para produzir uma geometria estável e razoavelmente consistente do espaço visual.

Apenas quando nós passamos nossos olhos ao redor deste mundo geométrico, para adquirir um "quadro maior", é que temos uma impressão perceptual de que as linhas retas em realidade são curvadas. Uma longa parede reta parece ter linhas retas e paralelas quando nossa linha de visão é perpendicular à parede. Mas ao olhar "ao longe" a parede em um ângulo, essas mesmas linhas parecem ser linhas retas convergindo em um "ponto de fuga" no horizonte. Trocando nosso olhar de um fim para o outro nós integramos um quadro de linhas curvadas que divergem de um ponto ao horizonte, ficando paralelas, e então convergindo a um ponto ao outro horizonte. Este é o mundo geométrico de nosso campo visual mais largo, um de linhas curvadas, um espaço "Riemanniano". Mas quando nós fixarmos nosso olhar em uma direção, nosso cérebro endireita essas curvas, produzindo um resultado como o espaço "Euclidiano" da representação de perspectiva rígida de um artista.

Porém, este processo não corrige consistentemente ângulos entre linhas. Ângulos retos em um desenho de perspectiva geralmente não são ângulos retos no papel. Nem os ângulos são corretamente percebidos pelo olho quando o plano do ângulo está inclinado com respeito a nossa linha de visão.

Uma vez que reconhecemos que o espaço visual pode não ser anisotrópico, que é uma distorção mais ou menos consistente do espaço real, nós temos um modo novo de pensar na ilusão da lua e ilusões de céu relacionadas.
Qualquer um pode apreciar o caráter desta anisotropia olhando para a o céu coberto de nuvens à luz do dia em um terreno relativamente plano. Fisicamente a cobertura de nuvens é essencialmente um plano achatado, como é a terra debaixo de nossos pés. Pense em observar o céu de um navio no meio de um oceano. O oceano parece essencialmente plano, mas a cobertura de nuvens se parece como uma tigela rasa invertida. Esta forma pode ser apreciada até melhor se o observador mover seus olhos lentamente para esquadrinhar ao redor do horizonte e para cima do horizonte para o zênite, com a intenção consciente de adquirir um sentimento da forma das coisas neste espaço maior. Algumas pessoas até mesmo sentem que o oceano se curva um pouco para cima no horizonte distante da mesma maneira que a cobertura de nuvem se curva para baixo. Em todo caso, a maioria das pessoas julga o céu ao horizonte como estando à mesma distância que o horizonte.

Como esta impressão se enquadra com a situação no espaço (físico) real? A distância física do objeto mais distante que uma pessoa pode ver no horizonte depende da elevação do olho do observador sobre a água. Pode-se derivar a fórmula para isto, em termos do raio da terra. Para uma elevação de seis pés (~1,80m), o horizonte parece estar a aproximadamente 3 milhas de distância. Nuvens alto-cúmulos estão a aproximadamente 2 a 3,5 milhas acima. Assim fisicamente as distâncias são quase as mesmas, contudo as nuvens acima parecem à maioria das pessoas estar muito mais próximas que aquelas próximas do horizonte. Este cálculo pode não parecer muito justo, já que nós podemos ver nuvens que estão fisicamente bem além do horizonte de superfície, ao redor de 100 milhas de distância, devido à sua altura sobre a superfície da terra. Mas pode qualquer leitor e observador honestamente dizer que as nuvens ao horizonte parecem mais distantes que a água no horizonte? Eu nunca encontrei qualquer pessoa que fizesse tal alegação.

Já que as nuvens ao horizonte estão distantes a aproximadamente 100 milhas, a cúpula física de um céu coberto de nuvens é realmente uma tigela achatada, com 100 milhas em raio e só algumas milhas de altura. Contudo quando este cálculo é feito, até mesmo o matemático ou físico mais experiente tem que admitir "eu não vejo as coisas que modo!". Nós precisamos trabalhar mais o ponto de que a geometria de nosso espaço visual de tais coisas distantes é severamente distorcido comparado ao espaço físico.

Temos uma impressão forte de que a cobertura de nuvens "se junta" ao horizonte. Pode ser simplesmente que não há nenhuma ansolutamente nenhuma sugestão visual para indicar que eles estão a distâncias diferentes? Nosso cérebro pode estar fazendo a reconciliação mais simples da situação.

Afinal, por que a cobertura de nuvens se curva para baixo? Isto é visto até mesmo quando há nuvens individuais com sugestões de forma, tamanho e sombras. Além de uma certa distância, uma distância fixada por outras sugestões visuais, nosso cérebro se recusa a colocar objetos a uma distância aparente maior, especialmente se não há nenhuma sugestão local indicando objetos entre o horizonte e a cobertura de nuvens. Por "local" eu quero dizer, objetos visualmente conítguos próximos da linha do horizonte. Nosso mecanismo cognitivo parece priorizar decisões, favorecendo a reconciliação de sugestões locais às custas daquelas distanciadas umas das outras através de ângulos visuais maiores.

Estes fatos ilustram que quando nós estivermos lidando com estas grandes distâncias, nossa lógica geométrica habitual sobre distâncias é essencialmente inútil para descrever o que percebemos. Uma vez que este fato sobre a percepção é percebido, também pode-se perceber que muitas das experiências e teorias das ilusões da lua e do céu e a maioria dos documentos publicados no assunto são simplesmente irrelevantes aos nossos julgamentos de objetos muito distantes.

Por que o espaço visual é anisotrópico? Especificamente, como a anisotropia funciona? Por que "métrica" desta isotropia muda em resposta a sugestões visuais, como objetos a várias distâncias no campo de visão, e até mesmo com experiência visual passada? E por que alguma anisotropia permanece até mesmo se quase todas sugestões visuais de distância estão ausentes? Essas são perguntas que precisam ser endereçadas. Pouco progresso foi feito nessa direção. Mas nós não podemos resolver as ilusões da lua e do céu até que lidemos com essas perguntas.


O modelo retinóide de Trehub
Arnold Trehub, em seu livro The Cognitive Brain (MIT Press, 1991) propôs um modelo teórico inclusivo da cognição, postulando mecanismos e sistemas nouronais que são responsáveis pela cognição. Ele hipotetiza uma estrutura neuronal que age como um buffer dinâmico para processar informação da retina, que ele chama um retinóide. Este retinóide executa muitas funções, algumas das quais determinam como a informação visual sensória é interpretada antes de ser passada para níveis mais altos do processo visual. O retinóide organiza e integra informação visual em um modelo unificado do espaço visual. Trehub chama isto um "bloco de rascunho visual" que armazena informação espacialmente organizada como memória de curto prazo.

Não é preciso se aprofundar nos detalhes de como isto poderia funcionar no nível celular para reconhecer a importância desta idéia geral no estudo da percepção e de ilusões de percepção.

O processo visual começa com dados sensórios, principalmente da retina. As imagens da retina representam um mapa cru (em duas dimensões) do espaço real de pontos luminosos. Os processos cognitivos sintetizam estes dados, reconciliando ambigüidades, corrigindo deficiências dos próprios olhos e criando uma imagem final "verídica" que percebemos como o espaço que estamos olhando. Experiências passadas desempenham um papel quando nós observamos objetos familiares.

Por exemplo, nós vemos três faces de um cubo, mas nossa experiência com cubos gera um julgamento verídico de que o cubo tem seis faces, inclusive aquelas que não produzem nenhuma sensação na retina até que nós giremos o cubo. Nossos cérebros estabeleceram sistemas de subprocessos para cubos, esferas, árvores e outros objetos familiares, tratando-os até mesmo como objetos inteiros quando nós só os vermos parcialmente.

A imagem verídica é de certa forma melhor que as imagens da retina em qualquer instante. Contudo ela também pode ter características que simplesmente não são uma representação precisa do espaço real, como é demonstrado pelas muitas ilusões visuais estudadas por psicólogos. Muitas de tais ilusões têm sugestões visuais contraditórias, e o cérebro faz o melhor que pode para reconciliar essas contradições.

Este pré-conceito cognitivo do espaço verídico depende de nosso julgamento cognitivo anterior do que é cima e do que é abaixo. Nós temos um mecanismo se subprocesso cerebral para o espaço que nos cerca. Mas os dados peneirados neste sistema já foram subconscientemente realinhados em uma fase anterior do processo cognitivo que fez um julgamento para cima e para baixo. Várias sugestões, incluindo o nosso mecanismo de equilíbrio vestibular nos dizem a toda hora como a nossa cabeça está orientada. Então o resto do aparelho cognitivo interpreta adicionalmente as sugestões visuais baseado neste julgamento de "para cima". [A hipótese de "cúpula de céu" anterior também depende deste julgamento de cima/baixo.] Inclinação da cabeça pode alterar este julgamento ligeiramente, mas se houver bastante sugestões, não destruirá as ilusões do céu e da lua. Porém, olhar para o céu de cabeça para baixo diminuiu grandemente a ilusão para muitas pessoas. Mas esta orientação também confunde a interpretação de muitas relações de espaço visuais. Vale notar que a qualidade de muitos julgamentos visuais é muito reduzida ao ver o mundo desta posição incomum, até mesmo ao ver um quadro ou fotografia que também estão invertidos. As coisas não parecem muito certas. A qualidade do processo cognitivo é degradada severamente.

A ilusão da lua é consistente com o que seria esperado de considerações evolutivas. Nós evoluímos processos cognitivos que provêem informação de alta qualidade de coisas próximas, e coisas em nosso mesmo nível em que nós podemos caminhar e experimentar de vários ângulos. Tudo isso é importantes para a sobrevivência. Coisas vistas bem alto no céu, ou até mesmo aquelas vistas abaixo, como ao olhar pela ponta de um precipício, são menos importantes e a discriminação e julgamento de distância são afetados.


O paradoxo de tamanho-distância
A maioria das pessoas tem um modelo cognitivo que relaciona o tamanho angular à distância. Isto é chamado de "lei de invariância tamanho-distância." Quando uma pessoa observa duas pessoas, uma subtendo um ângulo menor, outra um ângulo maior, ela julga que a pessoa que subtende o ângulo pequeno está mais distante. Isto funciona para objetos que nós conhecemos ou já julgamos (de memória e outras pistas) como sendo "realmente" do mesmo tamanho.

Como normalmente visto, o modelo da cúpula do céu "explica" a ilusão da lua desta maneira: A retina recebe um certo estímulo de tamanho, o mesmo tamanho angular as luas no horizonte ou em cima. O cérebro tem um modelo do céu que diz que a lua acima está a mais próxima. Assim já que as duas imagens da lua têm o mesmo tamanho na retina, nós julgamos que que a lua acima tem um tamanho real menor. Como indicado mais cedo, esta "explicação" excessivamente simplificada parece a mim vazia e enganadora.

Alguns que contestam o modelo da "cúpula do céu" em qualquer de suas variantes apontam que quando as pessoas são perguntadas sobre qual lua é maior, elas respondem "A lua do horizonte." Quando perguntados sobre qual lua está mais próxima, a maioria dirá "A lua do horizonte." Isto, os críticos dizem, contradiz a explicação simples da cúpula do céu, e então a invalida. Eles chamam este o "paradoxo de tamanho-distância." Esta objeção, em minha opinião, não tem fundação.

Nestas discussões nós temos que distinguir três níveis do processo sensório que desempenham um papel no julgamento final.

A própria sensação. Neste caso, o diâmetro da imagem na retina, estimulando receptores de luz. Todos comentaristas concordam que a ilusão da lua não ocorre neste nível.

O julgamento inconsciente de alguma propriedade "física", como brilho, tamanho angular, cor. Isto pode ser influenciado por experiência passada, ou por truques de funcionamento cognitivo inato, mas é feito sem que nós "pensemos sobre o assunto" conscientemente ou deliberadamente "analisamos" algo.

A consideração pensada da sensação, ao questionar e por análise consciente. Exemplo: "Essas duas barras parecem conectadas, mas este não pode ser o caso já que isto viola algumas leis da física ou matemática." Neste nível, podem ser esperados julgamentos bastante diferentes entre observadores treinados e não-treinados, e também diferentes para aqueles sem educação em matemática e física comparados a aqueles com educação nessas áreas. A literatura da ilusão da lua está largamente calada nestas possíveis diferenças de interpretação.
Misturar estes níveis confundiu muitas discussões do efeito da lua.

Qual é o significado de 'tamanho?' Ao lidar com instrumentos físicos de medida como máquinas fotográficas e telescópios, a relação entre tamanho angular, tamanho linear e distância é uma aplicação direta de trigonometria.

tan(tamanho angular) = (tamanho)/(distância linear)

Ou tan(A) = T/D

Mas julgamentos visuais de tamanho e distância lineares são claramente confundidos por efeitos de ilusão visuais de vários tipos. Assim foram introduzidas "tamanho linear aparente" e "distância aparente", e a hipótese de invariância-tamanho-distância foi escrita:

tan(tamanho angular) = (tamanho aparente)/(distância linear aparente)

Ou tan(A) = T'/D'


Neste contexto, se sugestões de distância predominam, alterando D para D', então o tamanho aparente S' será "calculado" pelo cérebro como necessário para interpretar o tamanho angular A da imagem na retina. Mas se sugestões de tamanho predominam (como quando você está olhando para uma pessoa cujo tamanho você está familiarizado de experiência longa), a distância aparente D' será calculada pelo cérebro.

Esta hipótese tem uma suposição subjacente. Que o tamanho angular de importância é simplesmente o tamanho físico da imagem da retina, o estímulo visual. Mas será possível que o tamanho angular percebido também esteja sujeito a efeitos ilusórios? Nesse caso nós deveríamos escrever:

tan(A') = T'/D'

Esta visão, e esta equação, foi proposta primeiramente por Don McCready [1965]. Ele a desenvolveu mais completamente em seu documento [1985], e a aplicou à ilusão da lua [1986]. Seu website provê uma apresentação muito completa destas idéias.

Isto levanta a pergunta: O que estamos fazendo quando julgamos o "tamanho" ou "distância" de algo (como a lua) para o qual nós não tivemos nenhuma visão de perto, e cujo tamanho e distância lineares são muito grandes para compreender perceptualmente de qualquer maneira? Quando nós dizemos que uma lua é "maior", nós estamos falando sobre tamanho angular ou tamanho linear?

Alguns defendem que a ilusão da lua básica é uma de tamanho angular. Certamente todas as experiências que pedem para que pessoas comparem a imagem da lua (ou uma lua simulada) com um objeto físico (ou um objeto físico simulado) estão pedindo uma comparação de tamanho angular percebido. Também, a interpretação de estudos experimentais pode ser confundida por ambigüidade do significado da palavra "tamanho", como entendido pelas pessoas e pelos experimentadores. Até mesmo se o experimentador explicar cuidadosamente pessoas ingênuas a diferença entre tamanho angular e tamanho linear, e entre tamanho "real" e tamanho "percebido", ela pode ser incapaz de fazer essas distinções ao descrever um objeto observado.

Eu não vou nenhum me aprofundar nas três equações de tamanho dadas acima, porque elas podem nem mesmo ser pertinentes à pergunta da ilusão da lua. A ilusão da lua opera a distâncias reais essencialmente infinitas, e tamanhos reais além de apreensão direta. As únicas variáveis relevantes são tamanho angular, real e aparente. Contudo nós temos que admitir que estudos experimentais de ilusões vistas em espaço próximo podem nos ajudar a entender os mecanismos cognitivos que também podem se aplicar à ilusão da lua.

Alguns estudos perguntaram para as pessoas "que lua parece mais próxima", o que parece uma pergunta injusta, mas não se pode negar que nós tenhamos processos mentais que produzem um julgamento subconsciente pelo menos aproximado de "próximo e longe" para coisas no céu, e isto é certamente relvante às ilusões do céu. O julgamento cognitivo de tamanho angular aparente é feito a um nível muito cedo do processo cognitivo, sem "pensar nisto" conscientemente (deliberadamente). Quando perguntados qual lua é maior, nós temos que processar então conscientemente esta pergunta (sem estar conscientemente cientes de nossa determinação inconsciente prévia de seu tamanho angular aparente).

Suponha que um observador determinou subconscientemente que a lua do horizonte tem um tamanho angular maior que a lua do zênite. Este é o tamanho angular "percebido", A'. Quando perguntado qual lua está mais próxima, o observador pode argumentar conscientemente que a lua do horizonte deve estar então mais próxima. Nunca neste processo o observador está ciente do processo inconsciente pelo qual o cérebro dele já concluiu que a lua do horizonte tinha tamanho angular maior. Nenhuma contradição ou paradoxo está presente aqui, já que estes dois níveis de processo mental não são simultâneos. A contradição só surge quando nós pensamos no que dissemos.

A maioria das ilusões visuais contém contradições de julgamento semelhantes. Quando a tribarra impossível de Penrose é vista, uma pessoa pode julgar que o lado direito está mais distante que o esquerdo, baseado no modo eles como eles se conectam no vértice ao topo. Entretanto, ao olhar para a largura angular constante da barra horizontal mais baixa, uma pessoa pode ser forçada a concluir que os dois cantos abaixo estão à mesma distância. Contradição. Contudo cada julgamento individual parece "certo" e está baseado em associações visuais habituais de experiência cotidiana. Isto é o que torna as ilusões tantalizantes.

Observadores educados em física e matemática, físicos, astrônomos, e observadores do céu amadores, apredenderam modelos conscientes um pouco diferentes. Quando perguntados "Qual lua está mais próxima" eles podem responder "Essa é uma pergunta injusta; ainda é a mesma lua, e em ambos os casos a distância e tamanho são muito grandes para fazer um julgamento de distância". Se uma pergunta de seguimento é feita, "Qual parece mais próxima?" a resposta é freqüentemente "Bem, você não pode confiar em seus olhos em tais questões." Muitos cientistas aprenderam (pelos seus enganos) a não confiar em seus olhos em certos tipos de observações informais. Como Helmholtz disse, "eu nunca acreditaria em qualquer coisa [baseado] unicamente na evidência de meus olhos". Ao contrário de Helmholtz, a maioria dos cientistas físicos não questiona as razões por trás de enganos visuais, eles simplesmente tentam se ater a observações e instrumentos que podem comprovadamente produzir resultados confiáveis e independentes do observador.


Micrópsia e macrópsia oculomotora
Os documentos na web de Don McCready enfatizam a importância de ilusões de tamanho angular. Ele também propõe uma explicação da ilusão da lua baseada em ilusões de tamanhos angulares devido à micrópsia oculomotora, uma ilusão que acompanha a acomodação da lente do olho e a convergência dos dois olhos. Micrópsia oculomotora é conhecida desde que foi descoberta por Charles Wheatstone (1852), e foi demonstrada experimentalmente de forma ampla para objetos próximos, aquelas para os quais convergência e acomodação desempenham um papel dominante em percepção de distância. O documento detalhado de McCready descreve muito bem este efeito.

Brevemente, a micrópsia oculomotora é isto: Normalmente, se há apenas um objeto, ou um objeto dominante, no campo de visão, nossos olhos tentam convergir e se acomodar à sua distância. Os músculos que controlam convergência e acomodação enviam sinais a nosso cérebro, que são sugestões de distância importantes. Mas quando os olhos da pessoa convergem e se acomodam a uma distância menor que um objeto, esse objeto parece subtender um ângulo menor que se os olhos da pessoa estivessem convergidos e acomodaram nele. Micrópsia significa "parecer pequeno", e aqui se refere ao ângulo visual subtendido por um objeto. O efeito inverso, macropsia, acontece quando os olhos convergem ou se acomodam a uma distância maior que a do objeto julgado.

Por que os olhos convergiriam ou se acomodariam a distâncias diferentes que o objeto de interesse no campo de visão? Por várias razões. Um número muito grande de objetos próximos espalhados pelo campo de visão pode influenciar o cérebro para convergência à sua distância. Para a maioria das pessoas, as funções de convergência (apontando os olhos a um ponto comum) e acomodação (ajuste de foco das lentes do olho) são "travadas", assim se uma pessoa convergir a objetos próximos, a acomodação também se ajusta àquela distância, e vice-versa.

Proponentes desta hipótese como explicação para a ilusão da lua afirmam que se há vários objetos distantes no campo de visão, como haveria quando observamos o nascer ou pôr da lua cheia, o cérebro ajusta acomodação e convergência a eles. Mas ao ver a lua cheia diretamente acima, em um céu claro, não há nenhuma outra sugestão de distância, e o olho ajusta seu foco de descanso a uma distância de 1 ou 2 metros. Isto faz o tamanho angular percebido da lua acima parece menor. Apoio adicional desta hipótese é o efeito de ambientes escuros que influenciam os olhos a se ajustar à distância de foco escura de cerca de 1 metro.

Entretanto, estas ilusões de micropsia e macropsia causam diferenças de tamanhos angulares de menos que 10%, nada grande o bastante para responder pela ilusão da lua vista pela maioria das pessoas.

Além disso, se a acomodação estivesse envolvida na ilusão da lua, você pensaria que as pessoas idosas que perderam quase toda acomodação visual não deveriam perceber a ilusão. mas elas percebem. As pessoas com implantes de lentes de olho não têm nenhuma acomodação, e elas percebem a ilusão da lua. Cobrir um olho remove a convergência de consideração, mas isso não faz a ilusão da lua ir embora.

Como sempre nestes assuntos, as coisas não são tão simples. Experiências mostraram que até mesmo quando um olho está coberto, ou cego, os músculos e a lente de olho ainda se acomodam à distância percebida por informação visual fornecida pelo outro olho. Também quando o músculo da lente de olho é paralisado em ambos os olhos por uso de gotas de atropina, a micropsia ainda acontece. Parece que a micropsia e a macropsia não são o resultado de mudanças físicas nos olhos, mas de processos que acontecem no cérebro, os mesmos processos que controlam os músculos dos olhos e o corpo ciliar que ajustam o foco da lente de olho.


O céu de planetário
A mesma coisa acontece em um planetário? Não! É por isso que muitos de nós sente que o planetário é uma simulação pobre do que nós vemos no céu à noite. Todos os efeitos reais do céu estão além da faixa onde nossa visão estereoscópica (devido a convergência de olho) funciona (aproximadamente 50 a 100 pés), assim nossos olhos não podem triangular objetos no céu. O planetário, com uma cúpula de, digamos, 50 pés diâmetro, tem todas as imagens de estrelas dentro da faixa de visão estereoscópica, e este fato domina nosso julgamento, minimizando outros efeitos psicológicos. Também, quando nós entramos em um planetário temos um sentimento visual e bastante direto de seu tamanho, que persiste até mesmo depois que as luzes são apagadas.
Você já notou que a lua, projetada sobre uma cúpula de planetário com o tamanho angular exatamente correto, parece do mesmo tamanho onde quer que esteja, e assim parece "muito pequena" quando no horizonte, comparada a nossa memória da lua real nascendo ou se pondo no céu?

Eu fui informado (Jan 2000) que alguns investigadores defendem que o limiar para detectar profundidade devido a disparidade retinal é 1 arco de segundo, assim as pessoas com visão normal podem detectar diferenças de distância entre a lua e objetos acima a até pelo menos 100 metros. Tais experiências são realizadas debaixo de "condições ideais" e normalmente envolvem julgar se dois pontos de luz estão igualmente longe. Meus comentários sobre o céu de planetário não dependem de determinar a acuidade deste número, já que a cúpula de planetário está claramente bem dentro da faixa de visão estereoscópica, seja qual for o 'valor que você aceitar para a distância máxima para visão estéreo.

A hipótese da importância da convergência ocular (visão estereoscópica) na ilusão da lua pode ser testada. Suponha que nós suprimamos sugestões estereoscópicas no planetário cobrindo um olho. Experiências relacionadas à ilusão da lua, especialmente aquelas onde objetos próximos (mais próximos que aproximadamente 50 pés) estão no campo de visão, também deveriam ser feitas com visão com apenas um olho para suprimir sugestões estereoscópicas. Isto não tem sido reconhecido sempre como uma sugestão visual importante nestas experiências. Porém, eu acho que elas desempenham um papel pequeno na ilusão da lua em si, ou qualquer ilusão relacionada a objetos além da faixa de visão estereoscópica, exceto para estabelecer a distância de objetos de referência próximos no campo de visão.

Isto ilustra por que a psicologia experimental pode ser tão difícil quanto a física. Como diz McCready (agosto 1999): "Claramente, nenhuma teoria foi completamente aceita pelos peritos até agora."


Quais são as conclusões?
Em resumo, parece a mim que:

A classe de ilusões de tamanho que incluem a ilusão da lua afeta objetos principalmente a distâncias além daquelas onde sugestões estereoscópicas e outras sugestões de distância fortes operam. Nós não deveríamos esperar então que as leis de invariância de tamanho-distância para objetos próximos sejam até mesmo relevantes à ilusão da lua.

A ilusão do céu (cúpula do céu como uma tigela rasa invertida) não deveria ser ignorada, já que é observada quase universalmente. Tanto ela quanto a ilusão da lua podem surgir da mesma causa. Entender a ilusão do céu pode ser a chave para entender a ilusão da lua, mas apenas invocar a ilusão do céu como a causa da ilusão da lua foge das questões fundamentais, e não tem conteúdo.

A ilusão do céu representa uma deformação do espaço visual para objetos tão distantes que outras sugestões cotidianas de distância e tamanho são inoperantes.

A ilusão de céu depende grandemente de uma sugestão importante: nosso senso de que direção é para cima. O processo cognitivo do espaço visual pode ser ligado a nosso conhecimento da inclinação da cabeça, de pistas visuais relativas a cima/baixo e o mecanismo de equilíbrio vestibular no ouvido interno. Então nós sabemos a posição de nossa cabeça e olhos relativa a "para cima" e "abaixo." Porém, alguns estudos mostram que apenas a inclinação da cabeça desempenha um papel pequeno na determinação do tamanho angular de objetos isolados em um ambiente de laboratório em recinto fechado, na ausência de outros estímulos.

Outros objetos vistos no campo visual enquanto vendo a lua podem adicionalmente modificar nosso julgamento de distância e tamanho, confundindo algumas das experiências que foram realizadas.

Trehub postula que nós nascemos com um mecanismo de processo cognitivo subconsciente que é inato. É um resultado da necessidade evolutiva de dedicar mais recursos de processo visuais ao espaço próximo, e espaço ao nível dos olhos, mas menos recursos para coisas vistas a elevação mais alta. Então o tamanho angular de objetos ao nível do olho é percebido como maior que o tamanho angular dos mesmos objetos vistos ao olhar para cima. Este modelo não exclui a possibilidade de que tais percepções possam ser modificadas por experiência. As predições deste modelo parecem de acordo com experiências, mas confirmação experimental mais direta dos detalhes deste mecanismo ainda não foram feitas.

A última palavra sobre este assunto ainda não foi escrita.

--- Donald Simanek

UMA BIBLIOGRAFIA INCOMPLETA
A literatura na ilusão da lua é vasta, indicando uma obsessão que beira o lunático. Eu não estou em nenhuma posição para compilar uma bibliografia completa e definitiva. Não tenho acesso fácil aos periódicos relevantes, especialmente os mais antigos. Felizmente o livro de Hershenson inclui muitas referências de literatura, assim como os websites listados aqui. Eu não consultei todos eles. Alguns foram recomendados. Eu receberei de bom grado sugestões para tornar esta bibliografia mais útil