Revisao para o ITA - Mostre que não existem matrizes A e B, nxm, tais que: A.B – B.A = 1?

Question

Mostre que não existem matrizes A e B, nxm, tais que: A.B – B.A = 1.

Answer 1

Para que os produto da matiz A m X n pela matriz B m X N seja definido, precisamos ter n = b. Logo, A e B são quadradas.

Seja T o traço da matriz, a soma dos elementos da diagonal.Pelas propriedades do traço, temos que T(AB - BA) = T(AB) - T(BA) e que T(AB) = T(BA). Assim,

T(AB - BA) = 0. Mas como os elemntos da diagonal principal de uma matriz identidade I são todos iguais a 1, temos que T(I) = n, a dimensão da matriz. .Logo,T(AB - BA) <> T(I), do que deduzimos que AB - BA e I não podem ser a mesma matriz. Isto prova a afirmação.

Parece-me que as respostas anteriores não provam o desejado, não

Answer 2

A matriz (n x m)
B matriz (n x m)

para que exista A.B , o número de linhas da matriz A ,deverá ser igual ao número de colunas da matriz B , logo n=m

idem para B.A ... n=m


logo a matriz A.B será matriz quadrada (n x n) e B.A será do tipo (n x n)

seja M = A.B - B.A , logo M é uma matriz quadrada (n x n)

como M= 1 , o valor de n=1 ( matriz 1x1)

sejam matriz A [a] , e B [b] , a e b reais

A.B = [a.b]
B.A =[b.a]

A.B - B.A = [a.b] - [b.a] = [ 0 ] ≠1

Answer 3

Pq é a mesma coisa vc multiplicar a.b ou b.a.
Vc vai encontra o mesmo resultado nas duas multiplicaçoes e se vc diminuir ela vai encontra 0 e não 1
Não tem como o resultado ser 1


Bjs

tata

Answer 4

A 1ª resposta está errada, em se tratando de matrizes nem sempre AxB = BxA

Ex:

A = 2 4
.......5 7

B = 1 2
........3 4



AxB =
2 4 * 1 2 = 2+12 4+16 = .....14 20
5 7 .....3 4 .... 5+21 10+28 ...26 38

BxA =
1 2 * 2 4 = 2+10 4+14 = .....12 18
3 4.....5 7 .... 6+20 12+28 ....26 40

Note que AxB deu diferente de BxA

A 2ª resposta acredito que parte final tá errada, assim como acredito também que vc escreveu equivocadamente 1, na verdade o enunciado seria AB - BA = I (Note que I é a matriz identidade de ordem n e não o numeral 1)


Bom veja o link abaixo, fala justamente desse problema q vc citou e tem uma demonstração (um pouco avançada, já q exige conhecimentos meio avançados de álgebra linear)...

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200403/msg00319.html

Kisses

=**