“O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante.”?

Question

Prove que: “O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante.”

Answer 1

Para provar isto, vou assumir conhecidos alguns fatos básicos da Álgebra Linear. A demonstração deles tem em qualquer livro de Álgebra Linear.

Seja A = [A1, ...Ap,...Aq,...An] uma matriz quadrada, onde cada Ai, i=1,....n representa cada um dos vetores linha de dimensão n. Seja k uma constante e seja B a matriz dada por B = [A1,....Ap + k*Aq,....Aq,....An]. Isto é, o p-gésimo vetor linha de B é a soma do p-gésimo vetor linha de A com o q-gésima vetor linha de A multiplicado pela constante k .

Pelas propriedades dos determinante, temos que

det(B) = det( [A1,....Ap,....Aq,....An]) + . det([A1,....+ k*Aq,....Aq,....An] = det(A) + det([A1,....+ k*Aq,....Aq,....An] . Isto decorre do fato de que, se uma linha é dada pela soma de duas outras linhas, então o determinante é a soma dos terminantes das matrizes em cada cada uma das linhas somadas comparece individualmente na mesma posição da matriz original..

Sabemos, também, que se multiplicarmos uma linha por uma constante k, então o determinante fica multiplicado por k. Temos, portanto, que

det(B) = det(A) + k * det([A1,....+ Aq,....Aq,....An]

Sabemos também que, se uma matriz tem duas linha iguia, emtão seu determinan te é nulo. Logo, det([A1,....+ Aq,....Aq,....An] = 0, do que concluimos que

det(B) = det(A) = 0 = det(A), provando a igualdade.
Tudo que foi dito para linhas vale, igualmente, para colunas.