Qual a meia-derivada de f(x) = x ?

Question

Dica:

Dado o operador diferencial D = d/dx, encontre o operador J tal que (J² f)(x) = f'(x). Ou seja:
J = D ^ (1/2) (chamado de meia-derivada)

De fato, um operador P existe para qualquer n de forma que (Pⁿ f)(x) = f'(x) é bem definido para qualquer real n>0.

A pergunta então é:
Dado f(x) = x, qual a função d^(1/2) / dx^(1/2) ?

As meias-derivadas têm muitíssimas aplicações.
Se você digitar "applications of half derivatives" no Yahoo!Cadê, encontra
796.000 referências. A mesma pesquisa no Google retorna 1.820.000 referências !!!

Links:
Yahoo!Cade : http://br.search.yahoo.com/
Google : http://www.google.com.br/

Para evitar que os mecanismos de buscas retornem os resultados relativos a operação financeira de derivativos e correlatos (mencionados pelo Marcelo), pesquisem por:

1) "half-derivatives"
2) "half-derivatives" applications

As aspas são necessárias.

O Yahoo!Cadê retorna 102 e 19 referências para as buscas 1) e 2), respectivamente, e o Google retorna 300 e 148 referências para as mesmas buscas.

Entre essas referências, encontram-se até aplicações em processos industriais. Portanto, é um exagero do professor do Marcelo dizer que não existem aplicações. Mero fruto da falta de informação.

 
=== Resposta correta e completa ===

Operador Jª:
(Jªf)(x) = (1/Γ(a)).∫(x - t)ª - ¹.f(t).dt, t=0→x

Para f(x) = xⁿ:
(dª/dxª)xⁿ = (Γ(n + 1)/Γ(n - a + 1)).xⁿ - ª

Meia derivada de f(x)=x (n=1 e a=½):
(d^½/dx^½)x = (Γ(1+1)/Γ(1-½+1)).x^(1-½)
(d^½/dx^½)x = (Γ(2) / Γ(3/2)).x^½
(d^½/dx^½)x = √x / Γ(3/2)
(d^½/dx^½)x = √x / (√π/2)
(d^½/dx^½)x = (2 / √π).√x
(d^½/dx^½)x ≈ 1,12838.√x

Fonte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Half-derivative
 

 
 
=== Considerações ===

Para mim, o Y!R é uma fonte de aprendizado.

Aprendo perguntando, mas aprendo ainda mais respondendo, pois respondo muito, sou perfeccionista e gosto de responder de forma correta e completa, acrescentando informações adicionais, se for possível e adequado. Para isto, o que está na memória não é suficiente: para responder bem é preciso pesquisar e analisar o resultado da pesquisa.

Acho um lamentável engano quando algumas pessoas que freqüentam o Y!R insistem em descartar boas respostas e desprezam a pesquisa, porque se esquecem que virtuamente TUDO o que sabem lhes foi ensinado, seja por alguém, por um livro ou por uma página da internet; que pouquíssimas pessoas contribuem com algo realmente novo para o conhecimento humano.

 
 
=== Escolha da melhor resposta ===

O Marcelo fêz uma boa pesquisa, encontrou a fonte adequada, mas não transcreveu a resposta. Isto talvez o fizesse aprender algo novo para ele, mas quem sou eu pra dizer o que as pessoas sabem ou deveriam aprender ou sobre o que é bom se interessar? (rs)

O Steiner respondeu efetivamente a perqunta, mas não citou a fonte. Não há demérito algum nisto, muito pelo contrário: um pesquisador que não cita suas fontes não recebe crédito da comunidade científica. Talvez o Steiner tenha se encabulado de citar a mesma fonte do Marcelo, mas isto também não é problema algum, pois o efeito é positivo: melhora o crédito da fonte citada!

Acrescentei ambos à minha lista de amigos. Mas é preciso escolher a melhor resposta e como a (útil) brincadeira aqui é responder, escolho o Steiner.
 
 

Answer 1

Eu já li alguma coisa sobre derivadas de ordem a para a em (0, 1). Há bibliografia sobre isso. Para funcões simples do tipo f(x) = x^k, a derivada de ordem a>0 é dada por J_a(x) = G(k +1)/G(k - a +1) x^(k-a), sendo G a função Gama.

No caso, a = 1/2 e k =1 , o que nos leva a
J_1/2(x) = G(2)/G(3/2) x^(1 -1/2) = raiz(x)/G(3/2) .

De fato, se aplicarmos novamente o operador J_1/2, econtramos agora 1/G(3/2) G(3/2)/G(1) x^(1/2 - 1/2) = 1, que é a derivada de f(x) = x.

Answer 2

Nossa, faz tempo que não escuto falar disso. Eu lembro que quando fiz calculo 1, alguém perguntou se isso existia mesmo ! O professor confirmou, mas disse que nunca encontraram utilidade.

Por acaso, pesquisando agora, acabei esbarrando na resposta que você quer. Ela é o exemplo citado em "Half derivative of a simple function" na referência wiki.

ps.: Muito obrigado pela dica sobre as aplicações! Se bem que muitas dessas "aplicações" na verdade se referem a operação financeira de derivativos e correlatos.