Derivada de y = x^ln(x) ?

Question

Derivada de função exponencial, não tou conseguindo nem começar essa daí. Obrigado.

Answer 1

y = x^ln(x)

(1) x = e^lnx

Portanto,

y= (e^lnx)^lnx
Que é a mesma coisa que

y= e^(lnx.lnx)
y= e^(lnx)^2
Tombando o 2 na frente do ln x, temos

y= e^ 2.lnx

Dai, do teorema que diz que [e^x]` =e^x (a derivada de e elevado a x eh igual a e elevado a x) temos que

y` = e^2lnx. [2lnx]` (pois eh um funcao composta, se nao lembra verifique o teorema da derivada da composta: derivada de h(f(x)) eh igual a [h(f(x)]` . [f(x)] `

Entao temos y`=( e^2lnx) . 2. 1/x.

Resposta: (e^2lnx) . 2/x

Opa, esqueci de por uma coisa, soh pra deixar mais bunitinho:

Como e^lnx = x (1), temos que e^2lnx eh x^2.

Entao, resposta melhorada: (x^2) . 2/x

Answer 2

a função é x elevado a ln(x) ?
y = x^lnx
Pela regra da derivada a seguir,teremos:
y = u^v (u elevado a v)
y' = v.u^(v-1).u' +u^v.(lnu).v'
No caso:
x = u =>dx=du
v = lnx =>dv = dx/x
então:
y' =lnx. x^(lnx-1)+x^lnx.(lnx).1/x
= lnx. x^(lnx) / x+x^(lnx).lnx.1/x
= lnx. x^(lnx)[ 1/x + 1/x]
y' = 2lnx.x^(lnx) / x
ufa!
Acho q é isso...
Um abraço!

Answer 3

Temos que a derivada de y = uv é y' = u v' + v u', supondo-se u e v deriváveis. No caso, u = x e v = ln(x). Assim,

u' = 1 e v1 = 1/x. Isso nos leva a que y' = x * 1/x + ln(x) * 1 = 1 + ln(x), para x>0.

Editando:

Ohhhhh! Li errado, é y = x^ln(x) !!!!!!!!!!!!!!

Então, temos que y = (e^ln(x))^ln(x) = e^((ln(x)^2)

Se u = ln(x)^2, entao u' = 2 ln(x) * (ln(x))' = 2 ln(x)/x e, pela regra da cadeia,

y' = e^u u' = e^((ln(x)^2) . 2ln(x)/x = 2 (x^(ln(x)) ln(x)/x, x>0

A resposta do Mpsal esta correta, mas a da Mimosa está errada.