Como posso calcular esta integral?

Question

calcule o comprimento de ø(t) = [x=t e y=t2/2(t ao quadrado sobre 2) onte t pertence [0,1/2], onde ø(t)=(t,t2/2), t pertence [0,1/2].

Answer 1

O comprimento elementar de uma curva plana diferenciável y = f(x), conforme vc sabe, é ds = raiz(1 + (dy/dx)^2) dx. No caso, a curva é dada parametricamente em função de t por

x = t e y = t^2/2

Assim, dx/dt =1 e dy/dt = t. Pela regra da cadeia, segue-se que dy/dx = t. Como dx = dt, vem

ds = raiz(1 + (dy/dx)^2) dx = raiz (1 + t^2) dt. Agora, o comprimento S eh dado por Int (0, 1/2) raiz (1 + t^2) dt. Fazendo t = tan (w) temos que w varia de arctan(0) = 0 a arctan(1/2) = pi/4. Observando que 1 + tan^2 (t) = sec^(t) e que dt = sec^2(w) dw, temos então que

S = Int (0, pi/4) sec(w) sec^2(w) = Int (0, pi/4) sec^3(w) dw

Para Integrar sec^3, há uma resposat boa em http://answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AiAtOhamz7X4qX1.vULfSbIjzKIX?qid=20070303000136AA4QynG

Depois é só substituir os limites e calcular

Int sec(w) (1 + tan^2(w) dw = Int sec(w) dw + Int sec(w) tan^2 (w) dw = Int sec(w) dw + Int sec (w) sec(w) tan(w) dw = ln(sec(w) + tan(w)) +

Answer 2

Que coincidência.. tive aula disso hj.... mas não prestei muita atenção.....

vamos ver... usa-se a formula do comprimento de uma curva que é sqrt(1+(f'(x))²)..... só que tem um teorema para as equações paramétricas que diz que a derivada da função em x é a derivada de y sobre a derivada de x em função do parâmetro t.

f'(x) = y'(t)/x'(t)

Pela fórmula das equações paramétricas -->
integral de sqrt(x'(t)² + y'(t)²) dt -->

substituindo...
integral de 0 a 1/2 de sqrt (1 + t²) --> a resposta deu [15sqrt(5) ]/16 --> aproximadamente 2,09!

Espero ter ajudado...