E agora???

Question

Verifique que as funções y1(x) e y2(x) dadas são soluções da equação diferencial homogênea associada e determine uma solução particular da equação diferencial não homogênea:
(x^2)y''-2y=(3x^2)-1 ; y1(x)=x^2 e y2(x)=1/x

Olha o que eu fiz:

Verificando soluções:

y1(x)= x^2
y'1(x)= 2x
y''1(x)= 2

y2(x)= x^(-1)
y'2(x)= -x^(-2)
y''2(x)= 2x^(-3)

substituindo na equação:

(x^2)*(2)-2(x^2) = 0, então é solução da homogênea
(x^2)*(2x^(-3))-2(x^(-1))= 0, então é solução da homogênea

Procurando uma solução particular:

yp(x)= A(x^2)+Bx+C
y'p(x)= 2Ax+B
y''p(x)= 2A

Quando substitui na equação o A some e fica impossivél achar o seu valor. Que metododo devo usar para achar a solução particular?

Answer 1

usando o método da variação de parâmetros.....

a solução da homogênea é dado como:
y1=x²
y2= 1/x

logo a solução particular será da forma:

y = c1(x).y1 + c2(x).y2 , onde c1 e c2 é uma função de x

y = c1.x² + c2/x

pelo teorema do método de variação arbitrária ..

c1'.y1 + c2'.y2 =0 ,(condiçao 1)
c1'.y1' + c2'.y2' = f(x)

y = c1.x² + c2/x

y' =c1'.x² + c1.2x + (c2'.x - c2)/x² , como c1'.x² + c2'/x =0 .. (Condição1)

y' = c1.2x - c2/x²

y'' = c1'.2x + c1.2 - (c2'.x² - c2.2x)/x^4

y'' = 2.c1 + 2x.c1' - c2'/x² + 2.c2/x³

substituindo na equação : x².y'' - 2y = 3x² - 1

x²(2.c1 + 2x.c1' - c2'/x² + 2.c2/x³) - 2(c1.x² + c2/x) = 3x² - 1

simplificando

2x³.c1' - c2' = 3x² - 1 , como c1'.x² + c2'/x =0

c1'.x² + c2'/x =0
c1'.2x³ - c2' = 3x² -1 , reduzindo a equação

c1'.x² + c2'/x =0
c1'.2x²- c2'/x= (3x² -1)/x ... somando

3x²c1' = (3x² -1)/x , c1' = (3x² -1)/3X³ = 1/x - 1/3x³

c2'/x = -x²(1/x - 1/3x³) = -x +1/3x , c2' = -x² + 1/3

c1 = integral c1' = ln(x) + 1/6x² + K1

c2 = integral c2' = - x³/3 + x/3 + K2

y = c1.x² + c2/x

y= x².ln(x) + 1/6 + x².K1 - x²/3 + 1/3 +K2/x

Answer 2

tem alguma coisa errada

Answer 3

Vc tentou resolver por variação do parâmetros?

Answer 4

E você acha que eu sei?