Dúvida em derivadas : f(x)=x².sen(1/x)?

Question

Estou com problemas pra calcular a derivada dessa função. Eu primeiramente calcularia a derivada de um produto, mas daí por diante eu não sei se teria que calcular mais derivadas... ou seja, começando pela derivada do produto, seria 2x.sen(1/x) + cos(1/x).x² , certo? Mas tenho certeza que a brincadeira não acabou... e agora o que faço com isso daí?

Answer 1

Você começou bem, precisa aplicar a regra do produto. Mas seu erro está na derivada de sen(1/x). Nesse caso, você precisa aplicar também a regra da cadeia.
Considere g(a) = sen(a) e a(x) = 1/x. A regra da cadeia diz que:

dg/dx = (dg/da)*(da/dx)

Como dg/da = cos(a) e da/dx = -1/x², temos que dg/dx = cos(a)*(-1/x²). Substituindo a por 1/x, ficamos com dg/dx = cos(1/x)*(-1/x²) e este é o valor da derivada de sen(1/x). O resultado final de df/dx será:
df/dx = 2x*sen(1/x) + cos(1/x)*(-1/x²)*x² = 2x*sen(1/x) - cos(1/x).

Answer 2

f(x) = x².sen(1/x)
f'(x)?
usando a regra do produto:
y = u.v
y' = u.v' + v.u'
f'(x) = x² . d/dx[sen(1/x)] + sen(1/x) . 2x
= x² . (-1/x²).cos(1/x) + 2x.sen(1/x)

f'(x)=2x.sen(1/x) - cos(1/x)

Faltou vc derivar a parcela de dentro do seno
ex:
Resolvendo y(x) = sen(1/x) pela regra da cadeia:
u(x) = 1/x ==> du = -1/x². dx ==> du/dx = -1/x²
y(u) = sen(u) ==> dy = cos(u).du ==> dy/du = cos(u)

dy/dx = dy/du . du/dx
= cos(u) . (-1/x²)
dy/dx = -1/x² . cos(1/x)

Um abraço!

Answer 3

Para x<>0, f'(x) = x^2 cos(1/x) * (-1/x^2) + 2x sen(1/x) = 2x sen(1/x) - cos(1/x)

Em x=0, a função não é definida

Answer 4

Antes de aplicar a regra do produto, vc deve fazer uma mudança de variável:

u = 1/x
du = lnx dx

Logo,

f(x) = x² * sen(u)

f'(x) = 2x*sen(u) + x² * cos (u) du

Colocando a derivada na base x temos a seguinte solução:

f'(x) = 2x*sen(u) + x² * cos (1/x)* lnx

Answer 5

tem continuação, vc tem que calcular a derivada da função composta sen(1/x) que é cos(1/x).lnx, logo a resposta final é 2xsen(1/x) + x^2.cos(1/x).lnx.