Exponenciais?

Question

Desenvolvam a resposta:

A função L(x) = ae^bx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.

a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto

Correta:
a) a = 120 b = ln1/2
b) 3m

Desde já obrigado!

Answer 1

na verdade a resposta é 4

Answer 2

Caro Colega,

É uma questão curiosa. Vamos rever os dados. Temos:

L(x) = a* e^(bx)

Onde:
L = nível de iluminação (luxes)
x = distância em metros da fonte luminosa
a e b são coeficientes

a) Nosso objetivo é determinar os coeficientes que atendam as seguintes especificações:

Para:
x = 1m => L = 60 luxes e x = 2m => L = 30 luxes

Substituindo esses valores na função, obtemos um sistema com duas equações e duas variáveis:

60 = a*e^b (eq. 1)
30 = a*e^(2b) (eq. 2)

Podemos dividir uma equação pela outra, membro-a-membro, obtendo o seguinte:

60/30 = (a*e^b)/(a*e^(2b)) =>
2 = e^(-b)
ou

e^(-b) = 2

Aplicando o logaritmo neperiano (base e) nos dois lados da equação, obtemos:

ln e^(-b) = ln 2
-b = ln 2 =>
b = - ln 2 =>
b = ln 2^(-1)=>

Logo: b = ln (1/2)

Substituindo o valor de "b" em qualquer uma das equações (p.ex. na eq. 1), teremos:

60 = a * e^b
60 = a * e^(ln 1/2)
60 = a * 1/2
a = 120

Logo, a solução para a letra a é a=120 e b=ln1/2.

b) Nossa função, portanto, fica: L(x) = 120*e^(ln(1/2)*x)

Substituindo o valor de L por 15luxes, conforme solicitado pelo problema.
Obtemos:

L(x) = 120*e^(ln(1/2)*x)
15 = 120 *e^(ln(1/2)*x)
15 = 120 *e^(ln (1/2)^x)
15 = 120 * (1/2)^x
15/120 = (1/2)^x
ou
(1/2)^x = 15/120
(1/2)^x = 1/8
x = 3
Portanto, a solução da letra B é 3m.