quem é bom em cinematica do movimento curvelineo??

Question

um corpo move -se no palno OX segundo a lei : ax=sent e
ay=3cost, onde a é a aceleracao e t é o tempo, expressos no sistema internacional de unidades. sabe-se que t=0s,
x(0)=0 , y(0)=3m , vx(0)= 1m/s e vy(0)=0m/s.
determine:
a) a equacao cartesiana da tragetoria
b) o modulo do vetor velocidade no instante t=pi/4 s.

Answer 1

Caro Colega,

a) O problema consiste inicialmente em integrar sucessivamente as equações das componentes x e y da aceleração, a fim de obter as componentes x e y da velocidade. Assim:

Vx = Integral(ax .dt) = Integral(sent dt) = - cost + cte

Sabendo-se que: Vx(0) = 1m/s, temos:

Vx = -cost + cte =>
1 = -cos(0) + cte =>
cte = 2

Logo: Vx = -cost + 2

Fazendo, o mesmo processo para Vy teremos:

Vy = Integral(3cost dt) = 3sent + cte =>
Vy = 3 sent + cte

Sabendo-se que: Vy(0) = 0, temos:

Vy = 3 sent + cte
0 = 3 sen(0) + cte => cte = 0

Logo: Vy = 3sent

b) Se quisermos saber o módulo do vetor velocidade no instante t = pi/4, substituímos o tempo em Vx e Vy, encontrando o seguinte:

Vx(t) = -cost + 2
Vx(t) = -cost + 2
Vx(pi/4) = - cos (pi/4) + 2
Vx(pi/4) = - raiz(2)/2 + 2
Vx(pi/4) = (4 - raiz(2))/2 = 1,2928

Vy(t) = 3sent
Vy(pi/4) = 3sen(pi/4)
Vy(pi/4) = 3.raiz(2)/2 = 2,1213

Logo:
|V(pi/4)| = Raiz(Vx^2 + Vy^2)
|V(pi/4)| = 6,1715

Conclusão: no instante t = pi/4 s, o corpo movia-se a uma velocidade de 6,1715 m/s.

(c) A equação da trajetória será encontrada pela integral da velocidade:

X(t) = Integral (Vx(t) dt)
X(t) = Integral((-cost + 2) dt)
X(t) = -sent + 2t + cte.

Sabendo-se que: X(0) = 0 temos:

X(0) = - sen(0) + 2*(0) + cte
0 = cte

Logo, X(t) = - sent + 2t

Enquanto que:

Y(t) = Integral( Vy(t) dt)
Y(t) = Integral( 3sent dt)
Y(t) = 3*(-cost) + cte

Sabendo-se que Y(0) = 3 temos:

Y(t) = 3*(-cost) + cte
Y(0) = 3*(-cos(0)) + cte
3 = -3 + cte
cte = 6

Logo, Y(t) = -3cos(t) + 6

Portanto, as equações para a posição no plano são:

X(t) = - sent + 2t
Y(t) = -3cos(t) + 6