Queda livre com gravidade variável?

Question

É feito um buraco que atravessa a Terra passando pelo seu centro e na superfície da Terra solto um corpo dentro do buraco.
Desprezando-se a resistência do ar deduzir as equações para:

1) Tempo gasto pelo corpo para atingir o centro da Terra;
2) Velocidade do corpo no instante acima.

Dados:
M - massa da Terra
m - massa do corpo
R - raio médio da Terra
K - constante de atração gravitacional.

Answer 1

a) t=π*sqrt(R³/(K*M))/2

b) v=-sqrt(k*M/R³)*R

ja que a aceleração é função do raio (g=k*M/r²) a forma exata de como descrever este movimento é resolvendo a equação diferencial d²r/dt²=k*M/r².
mais como a gravidade é radial,(sempre aponta para o centro) fica algo do tipo
d²r/dt²=-k*M/r²
mais isso so vale em relação ao lado de fora da terra
pelo mesmo principio da carga 0 dentro de uma esfera oca que esta carregada eletricamente (lei das cascas), a gravidade dentro da terra deve ter alguma modificação neste estilo.
no caso a massa que provoca aceleração é a que esta contida em uma esfera de raio r qualquer, e julgando a distribuição de massa constante, a massa da terra que provoca gravidade em função do r é:
M(r)=M*r³/R³ ,(r logo:
d²r/dt²=-(k*M*r³)/(r²*R³) ou
d²r/dt²=-K*M*r/R³
resolvendo a equaçao diferencial de segunda ordem temos:
r(t)=A*cos(ω*t+θ) (movimento harmônico simples)
A=amplitude do movimento
ω=sqrt(k*M/R³) (ω= pulsação angular)
θ=fase inicial
(sqrt=raíz quadrada)

no nosso caso θ=0, e r(0)=R, logo A=R, pois R é o raio máximo atingível
reescrevendo
r(t)=R*cos(ω*t)

a) para atingir o centro , r(t)=0;
logo
R*cos(ω*t)=0
cos(ω*t)=0
ω*t=π/2 (função arc_cos)
t=π/(2*ω)
t=π/(2*sqrt(k*M/R³))
t=π*sqrt(R³/(K*M))/2

b)v=dr/dt
v(t)=-ω*R*sen(ω*t)
v(π/(2*ω))=-ω*R*sen(ω*π/(2*ω))
v=-ω*R*sen(π/2)
v=-ω*R
v=-sqrt(k*M/R³)*R

se tiver duvida quanto a resolução da equação diferencial de uma olhada nesse site:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edo2ord.htm
ou esse sobre M.H.S
http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/oscila/oscilacoes.html

Answer 2

g= KM/r² ( F´sica classica) , r- raio variável .....

lim g = lim KM/r² = +infinito , r--->0 ( aproximando do centro da terra)

pela equação do espaço , S = Sº + Vº.t + g.t²/2,

como o corpo é abandonado ,Vº=0 , S--->0 , Sº=R

|Sº |= gt²/2 , t = √(2R/g)

lim t = lim √(2R/g) = 0 , g--->+infinito

para r-->0 , g---> infinito.... e t--->0 ..... ( Teoria da relatividade??? ou mera coincidência com sucessão de conceitos errôneos?????

Answer 3

1) -- centro da terra--- referência...

R = Rº + Vº.t + g.t²/2 , g= KM/R² , Rº=0 , Vº=0

R= KMt²/2R² , R³=K.M.t²/2 , logo t= V[(R³.2)/K.M] , V=raíz quadrado....

2) velocidade no instante...
R³=K.M.t²/2 , derivando...

3R².dr/dt = K.M.t , dr/dt =v

v= K.M.t/3.R² , no instante t= V[(R³.2)/K.M]

v=V[(2.K.M)/(9.R)] .... V= raíz quadrado