Prove que mdc ( a+bc, b ) = mdc (a,b), para quaisquer a, b e c naturais?

Question

PROVEM AI....

Answer 1

Pelo algoritmo das divisões sucessivas de Euclides, se m e n deixam o mesmo resto quando dividos por b, então mdc(m , b) = mdc(n, b).

Temos que a + bc = b(a/b + c). Além disto, temos que a = q b + r, sendo q>= 0 um um inteiro e 0 <= r < b. Assim, substituindo, a + bc = b(q + r/b + c) = b(q + c) + r. Logo, r = (a+ bc) (mod b) e r =a (mod b), de modo que as divisões de a + bc e de a por b dão o mesmo resto r. Logo, mdc(a + bc, b) = mdc(a, b).

Answer 2

Seja "m" o mdc(a,b).
Logo podemos dizer que:

a = m.a1
b = m.b1

Por definição de mdc, na fatoração de a1 e b1 não existem números naturais comuns.

Logo: mdc(a+bc, b) = mdc(m.a1 + m.b1.c, m.b1)
= mdc[m(a1 + b1.c, b1)]

Como a1 e b1 não tem divisores comuns, o mdc(a+b.c, b) é "m", cqd.

Answer 3

O algoritmo de Euclides busca encontrar o máximo divisor comum entre dois números inteiros diferentes de zero.

(a + b c) / b = (a/b) + c

resto [ (a + b c) / b]
= resto [(a/b) + c]
= resto [(a/b)] .. Euclides

Answer 4

mdc(a+bc,b)=mdc(a,b) _mdc(a+b0,b)=mdc(a,b)_ mdc(a+0,b) _mdc(a,b)=mdc(a,b) * vê se é isso!!!!!!!!*