Provar que as sequencias convergem?

Question

1) n fatorial / n elevado a n -> 0
2) (ln n)/n ->0
3) se a >0 e b >0 entaum ((Raiz de (n+a). Raiz de (n +b))) - n converge para (a+ b) / 2
4) se 0

Answer 1

1)
n! _1*2*3*...*(n-1)*n
n^n ¯ n*n*n*...*n
como 2/n < 3/n < ...<(n-1)/n <1 então
0< n!/n^n < 1/n
Pelo teorema do confronto (sanduíche), fechou.
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2) compara com a função correspondente, por um teoreminha (daí por L'Hospital sai)
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4) fatore b^n. Separe os limites porque RAIZ[n](x) é contínua em R+. neste exercicio, √x representa a n-ésima raiz de x
então lim (√(a^n+b^n)) = Lim(√(b^n)) * √(lim((a/b)^n + Lim1)
Bico!
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3) Multiplica/Divide pelo conjugado (Ok, isso é errado falar... mas deixa).Fica (n·(a + b) + a·b)/(√(a·b + a·n + b·n + n^2) + n)
Daí divide em cima e em baixo por n, inclusive o que fica na raiz. (a·b/n + a + b)/(√((a + b)/n + a·b/n^2 + 1) + 1)
Aplica o limite a cada termo