Quais os dois números entre 60 e 70 que dividem (2^48) - 1?

Question

Sei que a solução está num produto notável, porém gostaria de uma explicação detalhada.
Obrigada.

Answer 1

Cara amiga ,

Interessante a sua questão :

Como você mencionou ,devemos usar a diferença entre dois quadrados ,ok?

(2^48) - 1 =(2^24+1).(2^24-1)=(2^24+1).

(2^12+1).(2^12-1)=(2^24-1).(2^12+1).

(2^6+1).(2^6-1)=....(2^3+1).(2^3-1)

Observe que o último termo da expressão acima possui os fatores (2^3+1)=9 e (2^3-1)=7 , logo 9.7 = 63 divide a expressão acima.

Por outro lado , observamos também que (2^6+1)=65 é um dos fatores da expressão , logo 65 divide a expressão .

Em resumo , os dois números que dividem (2^48) - 1 são, 63 e 65 !!!!

Um abraço e dê seu parecer ,ok?

Answer 2

2^48= 5096
5096-1=5095
e 5095 naum pode ser dividido por nenhum dos números q estão entre 60 e 70.

Answer 3

De fato, vamos fatorar o número na forma em que foi dado. Temos a diferença de2 quadrados.

(2^48) - 1 = (2^24 +1)(2^24 -1) Podemos proseeguir com a fatoração enquanto no parênteses em que se subtrai 1, o minuendo for uma potência par de 2. Prosseguindo desta forma, temos que

(2^48) - 1 = (2^24 +1)(2^24 -1) = (2^24 +1) (2^12 +1)(2^12 -1) = 2^24 +1) (2^12 +1)(2^6+1)(2^6 -1) e, finalmente

(2^48) - 1 = (2^24 +1) (2^12 +1)(2^6+1)(2^3 +1)(2^3 -1) = (2^24 +1) (2^12 +1) . 65 . 9 .7 = (2^24 +1) (2^12 +1) . 65 . 63. Assim, um dos divisores é 65 e outro é 63. Aceitando-se na fé que, conforme diz o enunciado, só há 2 divisores entre 60 e 70, então terminamos! Mas, a rigor, para que a solução fique completa, temos que provar que (2^24 +1) (2^12 +1) não tem divisores entre 60 e 70.

O números da forma 2^n -1, n inteiro positivo, são conhecidos por números de Mersenne. Quando são primos, sáo primos de Mersenne, muito estudados em Teoria dos Números.