Qual eh a diferença de números reais e números irracionais?

Question

To com a maior dúvida, será que alguém podia tirá-la!!!

Answer 1

Primeiro, você tem que saber a diferença entre numeros racionais e irracionais. Racionais são aqueles que são produtos da divisão entre dois inteiros.Ex: 4/2=4 ; 1/3= 0,333... ; 3/6=0,5 ; -1/4= -0,25 etc. Que resultam em numeros com um "fim", ou em uma dízima periódica. Já os irracionais são produtos de divisões que resulta em um número com uma sequencia longa que não podemos defini-la. Ex: 1,763443674... ; pode-se citar, ainda, raízes não exatas ( de 2 e 3 por ex) que resultamo em numeros com a parte decimal infinita, e ainda a letra grega "pi" que é 3,1461... mas que, normalmente, aproximamos para 3,14.
Por fim, os números reais são a união dos racionais com os irracionais.

Answer 2

resposta
resumo sobre números reais=O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de fracções associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.


Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!
Construção Intuitiva=Intuitivamente, podemos construir o conjuntos dos números reais a partir dos racionais da seguinte forma: uma recta formada por números racionais tem buracos (por exemplo, existe um buraco onde deveria estar a raiz quadrada de 2). O conjunto dos números reais completa essa recta, tapando todos os buracos, de forma que se a recta real está dividida em duas semi-rectas, então existe um ponto separando as duas semi-rectas.

resumo sobre números irracionais=Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais.História

A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponte, um seguidor de Pitágoras. Ele produziu uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.

A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos de Euclides é dedicado à classificação de números irracionais.

Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.Classificação dos irracionais ==
Existem dois tipos de números irracionais:

== Classificação dos irracionais ==
Existem dois tipos de números irracionais:

*[[número algébrico|Números reais algébricos irracionais]]: são [[raiz (matemática)|raízes]] de [[polinômio]]s com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e [[radiciação|raizes]] de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo $\backslash sqrt\; \{2\}\; \backslash sqrt[3]\; \{\; \backslash frac\; \{42\}\{5\}\; -\; \backslash sqrt[5]\; \{7\}\}$. A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não se expressam através de radicais.

*[[número transcendente|Números reais transcendentes]]: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como [[pi]] ($\backslash ,\backslash !\backslash pi$) e o [[número de Euler]] ($\backslash ,\backslash !e$).

A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se [[número complexo|números complexos]].
== Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional ==

Prova:

Vamos provar por redução ao absurdo. Suponha que $\backslash sqrt\{2\}$ é racional.

Então podemos colocá-lo na forma ''p'' / ''q'', onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma:

''p'' / ''q'' = $\backslash sqrt\{2\}$.

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

( ''p'' / ''q'' )² = 2. Então, ''p''² = ''2q''². Como ''p''² é par, então ''p'' também é par.

Logo podemos chamar ''p'' = ''2k''. Substituindo na última igualdade, ficamos com:

( ''2k'' )² = 2q². Ou seja, 4k² = 2q² e então em 2k² = q², mostrando que q também é um par.

Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p,q)=1. Concluímos que $\backslash sqrt\{2\}$ é irracional.
Se n é um número natural, então raiz quadrada de n é ou irracional ou inteira ==

É claro que alguns números naturais tais como 1, 4 e 9, os chamados quadrados perfeitos, admitem raiz quadrada natural, a saber 1, 2 e 3. Mostraremos que este é o sempre caso quando a raiz quadrada é racional. Ou seja se $\backslash sqrt\{n\}=\backslash frac\{p\}\{q\}$ então p^2=n.

A prova segue da seguinte forma:
Suponha que $n$ adimite raiz quadrada racional $\backslash frac\{p\}\{q\}$ com p e q inteiros e q não nulo. Sem perda de generalidade, podemos supor que p e q são primos entre si. Então temos $n^2=\backslash frac\{n^2\}\{1\}=\backslash frac\{p\}\{q\}$. Como ambas as frações da expressão são irredutíveis temos $n^2=|p|$ e $1=|q|$. E o resultado segue.

Answer 3

Caro colega:

O conjunto dos números reais é um conjunto que engloba os números racionais (tanto os inteiros quanto os fracionários) e os números irracionais.

Os números racionais são todos os números que podem ser representados por uma fração (ou uma razão) entre dois números inteiros. Por exemplo, 0.5 = 1/2, isto é um exemplo de número racional.

Os números irracionais são todos os números que não são racionais, ou seja, que não podem ser representados por frações. Eles são números reais, mas não são números racionais.

Espero ter ajudado em alguma coisa!

Answer 4

Os números irracionais são números reais!
Apenas não podem ser expressos por uma razão exata, como ocorre com o número PI.
Por exemplo 3/8 = 0,375 (resultado exato)
3/9 = 0,333... (dízima)