急--2題數學問題有關多邊形

Question

1.試求出所有邊長為整數，其面積數值等於周長數值的所有矩形。
2.有兩個正多邊形，其邊數分別為m和n，已知其內角度量比值為2分之3，求m和n之值為何~?

謝嚕

Answer 1

1.
設矩形寬為a，長為b，a小於等於b，
根據題意，2(a＋b)=ab → 2a＋2b=ab → ab-2a-2b=0 → ab-2a-2b＋4=4
→(a-2)(b-2)=4
4=1*4=2*2，
若a-2=1，則a=3，b-2=4，b=6
若a-2=2，則a=4，b-2=2，b=4
所以共有「3*6」以及「4*4」兩種矩形符合條件。


2.
正k邊形一個內角=180(k-2)/k，
根據題意，
180(m-2)/m:180(n-2)/n=3:2
→(m-2)/m:(n-2)/n=3:2
→3(n-2)/n=2(m-2)/m
→同乘以mn，3m(n-2)=2n(m-2)
→3mn-6m=2mn-4n
→mn-6m＋4n=0
→mn-6m＋4n-24=-24
→(m＋4)(n-6)=-24
-24=6*(-4)=8*(-3)=12*(-2)=24*(-1)
若m＋4=6，則m=2，n-6=-4，n=2(不合，沒有正二邊形)
若m＋4=8，則m=4，n-6=-3，n=3
若m＋4=12，則m=8，n-6=-2，n=4
若m＋4=24，則m=20，n-6=-1，n=5
所以(m,n)共有(4,3)、(8,4)、(20,5)三組解。

Answer 2

1.設邊長為x
4 x = x ^ 2
( 4 x = x 平 方 )
x ( x - 4 ) = 0
x = 4 或 0 (0不合)
A:邊長為4

2.正三角形一內角60度
正方形一內角90度
比為60：90
比值為2/3