determinantes?

Question

a) det a = [1-y 1 ]
[1 1-y ]

Answer 1

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;



Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:

det M =Ia11I = a11

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5
M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3
Apresentaremos inicialmente um estudo simplificado sobre o conceito de determinante, similar ao utilizado no âmbito do Ensino Médio no Brasil.

Como as matrizes tratadas neste estudo são quadradas, faz-se necessário identificar tais matrizes. Uma matriz quadrada A de ordem n será denotada por A=[aij] onde os índices i=1,2,...,n indicam as linhas e os índices j=1,2,...,n indicam as colunas da matriz. O elemento da linha i e da coluna j da matriz A será indicado por aij.

Matriz cofatora
Para cada elemento aij de uma matriz quadrada A de ordem n, podemos construir uma matriz cofatora, que é uma matriz de ordem n-1, construída pela retirada da linha i e da coluna j da matriz original A, multiplicada pelo número (-1)i+j. Uma notação para a matriz cofatora de posição (i,j) é Aij.



Exemplo: Para a matriz dada por:

A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a matriz cofatora A11 para o elemento a11 é a matriz de ordem 2 obtida da matriz A pela retirada da linha 1 e da coluna 1, multiplicada pelo número (-1)1+1:

A11 = (-1)1+1 a22 a23
a32 a33 = a22 a23
a32 a33

A matriz cofatora A23 para o elemento a23 é a matriz de ordem 2 obtida da matriz A pela exclusão da linha 2 e da coluna 3, multiplicada pelo número (-1)2+3=-1:

A23 = (-1)2+3 a11 a12
a31 a32 = -a11 -a12
-a31 -a32

As matrizes cofatoras Aij são conhecidas como matrizes menores pois uma matriz A de ordem n possui n×n matrizes cofatoras de ordem n-1.



Cofator relativo à posição ij, indicado por dij, é o determinante da matriz cofatora Aij, isto é: dij=det(Aij)



A Matriz adjunta associada à matriz A, denotada por adj(A), é a transposta da matriz com os (determinantes) cofatores dij da matriz A.

adj(A) = d11 d21 d31
d12 d22 d32
d13 d23 d33
Alguns determinantes
Matriz de ordem 1: Para uma matriz A=[a11] com apenas um escalar (1 linha e 1 coluna), definimos:

det(A) = a11
Matriz de ordem 2: Para uma matriz quadrada A de ordem 2 (2 linhas e 2 colunas)

A = a11 a12
a21 a22

Definimos o determinante de A como:
det(A) = a11 a22 - a21 a12
Matriz de ordem 3: Para uma matriz quadrada A de ordem 3 (3 linhas e 3 colunas)

A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

definimos o determinante de A como:

det(A)=a11a22a33 +a13a21a32 +a12a23a31
-a11a23a32 -a13a22a31 -a12a21a33
Apresentaremos agora uma definição mais geral que permite calcular recursivamente o determinante de uma matriz de ordem n como a combinação linear de n determinantes de matrizes de ordem n-1, em função das matrizes cofatoras.

Determinante desenvolvido por linhas
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é um escalar denotado por det(A), construído a partir de qualquer uma das i linhas da matriz A, tal que:

det(A) = ai1det(Ai1)+ ai2det(Ai2) +…+ aindet(Ain)
ou de uma forma sintética
det(A) = j=1..n aij det(Aij)
para cada linha i=1,2,...,n fixada.

Em todas as situações acima, Aij significa a matriz de ordem n-1, obtida pela exclusão da linha i e da coluna j.


Determinante desenvolvido por colunas
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é um escalar denotado por det(A), construído a partir de qualquer uma das j colunas da matriz A, tal que:

det(A) = a1jdet(A1j) + a2jdet(A2j) +…+ anjdet(Anj)

ou seja

det(A) = i=1..n aij det(Aij)

para cada coluna j=1,2,...,n fixada.

As duas definições representam o mesmo número e são livres uma vez que podemos fixar qualquer linha ou qualquer coluna para obter qualquer uma das formas acima, conhecidas como expansões de Laplace.



Estudo mais refinado de determinantes
A partir daqui, definiremos o determinante como uma função n-linear alternada, forma normalmente tratada no âmbito do Ensino Superior no Brasil. Tal definição exige alguns conceitos algébricos importantes como o de permutação.


Permutação
O conjunto dos n primeiros números naturais, será denotado por In={1,2,3,...,n}. Por exemplo: I5={1,2,3,4,5}.

Uma permutação em In é uma função p:InIn que é bijetora. Como o conjunto In é finito, a função p:InIn é bijetora se, e somente se, p é injetora.

Cada permutação em In será indicada na forma:

p=
( 1
p(1) 2
p(2) 3
p(3) ...
... n
p(n) )

onde a primeira linha mostra os elementos do domínio In e a segunda linha mostra as respectivas imagens desses elementos através de p.



Exemplo: Existem apenas 2 funções bijetoras definidas sobre I2={1,2}. Tais permutações são:

p1= ( 1
1 2
2 ) e p2= ( 1
2 2
1 )

O número de permutações em I2 é o fatorial de 2, isto é, 2!=2 e o conjunto dessas permutações é: P(2)={p1,p2}



Exemplo: Existem apenas 6 funções bijetoras definidas sobre I3={1,2,3}. Tais permutações são:

p1= ( 1
1 2
2 3
3 ) p2= ( 1
1 2
3 3
2 ) p3= ( 1
3 2
2 3
1 )
p4= ( 1
2 2
1 3
3 ) p5= ( 1
3 2
1 3
2 ) p6= ( 1
2 2
3 3
1 )

O número das permutações em I3 é o fatorial de 3, isto é, 3!=6 e o conjunto dessas permutações é: P(3)={p1,p2,p3,p4,p5,p6}.

Tomando o último exemplo como referência, tomemos a permutação:

p1= ( 1
1 2
2 3
3 )

A segunda linha coincide com a primeira e esta permutação é denominada a permutação identidade.

Consideremos a permutação:

p2= ( 1
1 2
3 3
2 )

Trocando o número 2 pelo número 3 na segunda linha, obtemos exatamente os números que aparecem na primeira linha.

p2= ( 1
1 2
3 3
2 ) p1= ( 1
1 2
2 3
3 )

Considerando que só podemos trocar os números de dois em dois, necessitamos apenas de 1 troca para obter a identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 1 que é um número ímpar.

Consideremos agora a permutação:

p5= ( 1
3 2
1 3
2 )

Trocando o número 3 pelo número 1 na segunda linha, obtemos uma outra permutação que ainda não é a identidade. Ainda devemos realizar uma segunda troca para obter a permutação identidade:

p5= ( 1
3 2
1 3
2 ) p2= ( 1
1 2
3 3
2 ) p1= ( 1
1 2
2 3
3 )

Neste caso, necessitamos de 2 trocas para obter a permutação identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 2 que é um número par.



Paridade da permutação: Uma permutação é denominada par se necessita de um número par de trocas para transformá-la na identidade e é ímpar se necessita de um número ímpar de trocas para transformá-la na identidade.



O Sinal de uma permutação é definido pela função:

sgn(p)= { 1 se p é par
-1 se p é ímpar

Exemplo: Com relação às 6 permutações possíveis definidas sobre I3, temos que p1, p5 e p6 são pares e p2, p3 e p4 são ímpares.


A função determinante (por permutações)
Seja Mn(K) o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n com escalares em um corpo K e P(n) o conjunto de todas as permutações de elementos de In={1,2,3,...,n}. Definimos a função determinante det:Mn(K)K que associa a cada matriz AMn(K), o escalar denotado por det(A), por:

det(A) = pP(n) sgn(p) a1p(1) a2p(2)a3p(3)...anp(n)

sendo que a soma acima deve ser realizada sobre todas as permutações p que pertencem ao conjunto P(n).

Realiza um papel fundamental a indicação dos índices j e p(j). O primeiro j aponta para a linha onde está o elemento aj p(j) enquanto que o segundo p(j) aponta para a coluna do elemento aj p(j).



Exemplo (matriz de ordem 1): Seja A=[a11]. O elemento desta matriz pode ser escrito em função da única permutação de P(1)={p} e como p(1)=1, segue que

det(A) = sgn(p) a1p(1) = a11

que coincide com a forma apresentada antes.



Exemplo (matriz de ordem 2): Seja a matriz

A = [ a11 a12
a21 a22 ]

Cada elemento desta matriz pode ser escrito em função das 2 permutações de P(2):

p1= ( 1
1 2
2 ) e p2= ( 1
2 2
1 )

segue que p1(1)=1, p1(2)=2, p2(1)=2, p2(2)=1, sgn(p1)=1 e sgn(p2)=-1, logo:

det(A) = pP(2) sgn(p) a1 p(1) a2 p(2)
= sgn(p1) a1p1(1)a2p1(2) +sgn(p2) a1p2(1)a2p2(2)
= (+1) a11 a22 + (-1) a12a21
= a11 a22 - a12 a21

que coincide com a forma apresentada antes.



Exemplo (matriz de ordem 3): Tomemos a matriz

A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Cada elemento desta matriz pode ser escrito em função das 6 permutações de P(3):

p1= ( 1
1 2
2 3
3 ) p2= ( 1
1 2
3 3
2 ) p3= ( 1
3 2
2 3
1 )
p4= ( 1
2 2
1 3
3 ) p5= ( 1
3 2
1 3
2 ) p6= ( 1
2 2
3 3
1 )

segue que

p1(1)=1, p1(2)=2, p1(3)=3
p2(1)=1, p2(2)=3, p2(3)=2
p3(1)=3, p3(2)=2, p3(3)=1
p4(1)=2, p4(2)=1, p4(3)=3
p5(1)=3, p5(2)=1, p5(3)=2
p6(1)=2, p6(2)=3, p6(3)=1
sgn(p1)=sgn(p5)=sgn(p6)=+1
sgn(p2)=sgn(p3)=sgn(p4)=-1

Assim:

det(A) = pP(3) sgn(p) a1 p(1) a2 p(2) a3 p(3)
= sgn(p1) a1 p1(1) a2 p1(2) a3 p1(3)
+sgn(p2) a1 p2(1) a2 p2(2) a3 p2(3)
+sgn(p3) a1 p3(1) a2 p3(2) a3 p3(3)
+sgn(p4) a1 p4(1) a2 p4(2) a3 p4(3)
+sgn(p5) a1 p5(1) a2 p5(2) a3 p5(3)
+sgn(p6) a1 p6(1) a2 p6(2) a3 p6(3)
= a11 a22 a33+a13 a21 a32+a12 a23 a31
-a11 a23 a32-a13 a22 a31-a12 a21 a33

que coincide com a forma apresentada antes.



Existe uma notação para o determinante de uma matriz quadrada A=[aij] que é a colocação de uma barra vertical à esquerda e outra à direita dos elementos da matriz:

A = |
|
|
|
| a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
a31 a32 ... a3n
..... ..... .... .....
an1 an2 ... ann |
|
|
|
|
Partição de uma matriz quadrada de ordem n
Em geral, uma matriz quadrada A=[aij] de ordem n pode ser escrita na forma:

A = a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
..... ..... ... .....
an1 an2 ... ann

Esta matriz A pode ser particionada em n linhas:

A = L1
L2
...
Ln

sendo que para cada i=1,2,3,...,n, a linha i é um vetor da forma:

Li = (ai1, ai2, ai3, ..., ain)

Esta mesma matriz A pode ser particionada em n colunas:

A = [C1, C2, C3, ..., Cn]

sendo que para cada j=1,2,3,...,n, a coluna j é um vetor da forma:

Cj = a1j
a2j
...
anj
Propriedades da função determinante
Aditividade para cada linha (ou coluna): A função determinante é aditiva para cada linha (ou coluna) desde que sejam mantidas fixas todas as outras linhas (ou colunas).

|
|
|
|
| a11
a21
...
x1 a12
a22
...
x2 ...
...
...
... a1n
a2n
...
xn |
|
|
|
| + |
|
|
|
| a11
a21
...
y1 a12
a22
...
y2 ...
...
...
... a1n
a2n
...
yn |
|
|
|
| = |
|
|
|
| a11
a21
...
x1+y1 a12
a22
...
x2+y2 ...
...
...
... a1n
a2n
...
xn+yn |
|
|
|
|

Homotetia para cada linha (ou coluna): A função determinante é homotética para cada linha (ou coluna) desde que sejam mantidas fixas todas as outras linhas (ou colunas).

|
|
|
|
| a11
a21
...
an1 k.a12
k.a22
...
k.an2 ...
...
...
... a1n
a2n
...
ann |
|
|
|
| = k |
|
|
|
| a11
a21
...
an1 a12
a22
...
an2 ...
...
...
... a1n
a2n
...
ann |
|
|
|
|

Se In é a matriz identidade de ordem n, então det(In)=1.

Se A é uma matriz quadrada com uma linha nula (ou coluna nula), então det(A)=0.

Se A é uma matriz quadrada com duas linhas (ou colunas), iguais então det(A)=0.

Seja uma matriz quadrada A de ordem n, decomposta em linhas:

A = L1
...
Li
...
Lj
...
Ln

Se B é uma matriz com as mesmas linhas que A exceto pela linha Li que é substituída pela soma das linhas Li e Lj da matriz A, isto é:

B = L1
...
Li+Lj
...
Lj
...
Ln

então det(B)=det(A).

Usando a aditividade sobre a linha i, segue que:

det(B) = det L1
...
Li+Lj
...
Lj
...
Ln = det L1
...
Li
...
Lj
...
Ln + L1
...
Lj
...
Lj
...
Ln =det(A)

O último determinante é nulo pois a matriz respectiva possui duas linhas iguais. Esta propriedade vale para soma de linhas como para soma de colunas.

Se o conjunto das linhas {L1,L2,…,Ln} ou o conjunto das colunas {C1,C2,…,Cn} de uma matriz quadrada A forma um conjunto linearmente independente em Rn, então det(A) é diferente de zero.

Alternada: Se B é uma matriz obtida a partir da matriz quadrada A pela troca de duas linhas (ou colunas), então: det(B) = -det(A).

det L1
...
Li
...
Lj
...
Ln = -det L1
...
Lj
...
Li
...
Ln

O determinante do produto de duas matrizes quadradas é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, isto é:

det(AB) = det(A) det(B).

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta At, i.e.

det(At) = det(A).

Se A é uma matriz quadrada, então:

A adj(A) = adj(A) A = det(A) In.

O determinante da inversa de uma matriz A é igual ao inverso do determinante de A.

det(A-1) = [det(A)]-1

Se uma matriz M pode ser particionada em blocos na forma:

M = [ A 0
B C ]

em que A e C são matrizes quadradas, então

det(M) = det(A) det(C)

Se A e B são matrizes quadradas semelhantes, isto é, existe uma matriz P tal que A=P-1BP, então

det(A) = det(P-1BP) = det(B)



Exercícios:

Para a matriz A=[aij] de ordem n definida por aij=ij-1, mostrar que

det(A) = 1! 2! 3! 4! ... (n-1)!

Para a matriz A=(aij) de ordem 2 definida por aij=i+j, calcular f(t)=det(A-tI2) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.

Para a matriz definida por:

M = [ a b
c d ]

calcular f(t)=det(A-tI2) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.

Answer 2

O que foi DETERMINANTE, para eu sair do Yahoo Respostas, foi o facto de eu ir subtituir um professor de Física em Cambridge. Nada mal para um licenciado em Astronomia ( 500 pontos em 2 meses )
Mantenho-me a observá-los.

Abraços

Manuel Fernandes

Http://orionskyenator.googlepages.com

Answer 3

det a ={[(vai procurar uma namorada/vc é louco)]}

Answer 4

sory...

não posso te ajudar!

Answer 5

que é isso meu Jesus!!!!