Gostaria de saber o porquê do uso do numeral 9 como princípio para designarmos a fração geratriz das dízimas?

Question

NAO CONSEGUI NENHUMA RESPOSTA PARA ESSA QUESTÃO, ENTÃO RECORRO A VOCÊS MEUS CAROS COLEGAS DO YAHOO

Answer 1

vamos lá, a regra para formar geratrizes parte da seguinte dedução:

0,333333333 = x
se multiplicarmos os 2 lados por 10 obtemos
3,33333333 = 10x

assim, fazemos a seguinte conta:

.......3,3333333 = 10x
..... -0,3333333 = x
_____________________
........3,0000000 = 9x

logo, 9x = 3
então x = 3/9 = 1/3

se for com 2 digitos repetidos:

0,25252..... = x (agora multiplicamos por 100)
25,25252... = 100x
logo
25 = 99x
x=25/99

deu para entender?

Answer 2

Vc pode ver isso com a idéia de soma de PG.
Pegue uma dízima como: 0,434343434343...

essa dízima pode ser escrita como a seguinte soma de PG:
0,43 + 0,0043 + 0,000043 + ...

aonde cada número é o anterior multiplicado por 0,01

A fórmula para soma infinita de PG é
a1/ (1-q) = 0,43 / (1-0,01) = 0,43 / 0,99

multiplicando ambos por 100 temos

43/99 = 0,4343434343434343

Como a razão será sempre 0,1; 0,01; 0,001 ... (dependendo do número de casas que se repetem), e considerando que fazemos 1 menos esses números, sempre teremos divisão por 0,9; 0,99; 0,999

daí os noves da fração geratriz das dízimas.

Answer 3

Não é só o número 9.
Tem tb o 3, ...
Mas o 9 aparece mais basicamente pq a dízima é transformada multiplicando-se um número com dízima periódica por 10 e subtraindo ele mesmo, ou seja 10x - x = 9x.
Por isso o 9 aparece mais nos calculos.
ex.:
x = 1,33333333....
10x = 13,33333...
9 x = 13 - 1 = 12
x = 12/9 = 4/3 = 1 + 1/3
1/3 = 0,333333333
Viu, o 3 tb aparece muito, além do 9 , mas 9 = 3 x 3