高中數學~~數(因數與倍數)~~

Question

●試證明對於所有自然數N，N^4-N^2 必為4的倍數。
....
解答是這樣寫的:
設N=4K，4K-1，4K-2，4K-3 K屬於正整數.
(1)當N=4K時............'
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請問一開始位什麼要設N=4K，4K-1，4K-2，4K-3 ?????

請告訴我~~謝謝!!



●n屬於N，且 n大於100，若被 n 被 2 除餘 1，被 3 除餘 2，被 5 除餘 3，則 n 的最小值為....?
Ans:113


●以 8 除之餘 6，以 11 除之餘 9，以 15 除之餘 2 的自然數中介於 1 與 5000 者有幾個?
Ans:3



詳解喔~~~最好有中文註解~~非常的謝謝!!!!!

Answer 1

1. 試證明 對於所有自然數N, N^4-N^2 必為4的倍數
當我們要把數分類時
一定要考慮包含了所有的數
這樣才不會遺漏
因為目前我們要討論 4 的倍數
所以就以4當基礎來分類
所有自然數除以 4 祇有 4 種餘數 0, 1, 2, 3
所以 所有自然數 就可以分成
4k, 4k＋1, 4k＋2, 4k＋3 (這種方式是比較通用的方法)
但是 4k＋1 = 4(k＋1) - 4 ＋1 = 4k' - 3
(你也可以 換一個角度來想
除以 4 餘 1 就是 除以 4 不足 3; ...)
同理 4k＋2 = 4k' - 2; 4k＋3 = 4k' - 1
所以 分成 4k, 4k - 1, 4k - 2, 4k - 3 也是一樣
所以 本題的證法可以分成 四組 ...
相信你的書上有寫如何證明
所以我不再重述
但是 數學的精神在 "以簡御繁"
所以我們考慮另一種簡單的方式來做
把 N 分成 2k 和 2k＋1 兩組 (以2當基礎來分類)
(a) N = 2k
N4 - N2 = (2k)4 - (2k)2 = 16k4 - 4k2 = 4(4k4 - k2) => 為4的倍數
(b) N = 2k＋1
N4 - N2 = (2k＋1)4 - (2k＋1)2
= (16k4＋32k3＋24k2＋8k＋1) - (4k2＋4k＋1)
= 4(4k4＋8k3＋5k2＋k) => 為4的倍數 #
底下兩題的做法
基本上是同一種理念
2. n = 2a＋1 = 3b＋2 = 5c＋3
n = 5c＋3 <== 從大的除數做起
= 5(3d＋r)＋3 <== 把c 用 3 來除
= 5*3*d＋5r＋3

因為 n 被 3 除餘 2 => 所以 r 可以取 1
(基本上 3 的三種餘數 0, 1, 2 中恰有一種會成立)
n = 5*3*(2e＋s) ＋8 <== 把d 用2 來除
= 5*3*2*e＋15s＋8
因為n 被2 除餘1 => 所以s 可以取 1
=> n = 30e＋23 > 100
=> 30e > 77
=> e > 2....
=> e = 3
=> n = 113
待續 ...

2007-03-06 02:42:09 補充：
3. n = 8a＋6 = 11b＋9 = 15c＋2
n = 15c＋2
= 15(11d＋r)＋2
= 15*11d＋15r＋2 => r = 10
=> 15*11d＋152
= 15*11(8e＋s)＋152
= 15*11*8e＋165s＋152 => s = 6
= 1320e＋1142

2007-03-06 02:42:15 補充：
1< n < 5000
=> 1 < 1320e＋1142 < 5000
=> - 1141 < 1320e < 3858
=> - 0... < e < 2....
=> 0 <= e <= 2
=> e 有三個 (0, 1, 2)
=> n 有三個

如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

大大 很厲害@@