三角形的內角和為什麼是180度?

Question

證明三角形的內角和為什麼是180度?還是有其他結果?
要詳細說明

Answer 1

這個問題問的很好! 其實很少人會想過這個問題
一般人大多都認為 哎呀~~~這那麼簡單 誰都知道阿 幹麻證明
其實這是錯誤的觀念"數學" 不只是用背的!
"定理"或者"法則"的來源 是相當重要的!~~~
不僅可以讓你記憶深刻 也會加強你的思緒邏輯
正可謂一舉兩得阿! 好啦~~~說那麼多 切入正題囉
我們都知道 畫一個二維平面的封閉圖形
這個圖形就稱為"多邊形"
而多邊形當中 又有分"凹"與"凸"兩種
但是 並不是所有的多邊形 都有凹與凸
所有當中 三角形例外(只有凸的)
也就是你題目所問的
現在開始想像 你要畫三角形了
一條線...經過一個角度...第二條線...經過第二個角度
...第三條線...完成頭尾連線
好了 那 你會問 這跟內角合有什麼關係?
有! 當然有囉! 你看看你的連線
是不是剛好讓一開始的線段 轉了一圈?
這樣是不是剛好360度?
這幾個角度可稱為"外角"或者"線段的偏向角"
(之所以稱作線段的偏向角 就是你原先出發的那條基準線
"轉過"多少角度的意思)
結果發現什麼? 有三個內角 以及三個外角 對吧?
這個時候 可以很清楚看到 三條線段
有六個分割角 而分割一條線正好是180度!
三條加起來就是540度!
又因為"外角合"是360度 所以~~~
內角合=540度-360度=180度!
這就是三角形內角合180度的由來~~~
其實 只要是"多邊形" 都可以利用其外角合=360度的方法
來算出內角合 因此有人倒出"(幾邊形-2)X180"這種公式
其由來就是由上述之方法算出
如果仍有疑問
我會很樂意為您解答的!

Answer 2

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1507030507309.GIF

如圖，設∠A,∠B,∠C的內角分別為∠1,∠2,∠3，
過頂點A作直線.，平行線段BC，
因為平行線之內錯角相等，故∠2=∠4，∠3=∠5，
三角形內角和
=∠1＋∠2＋∠3
=∠1＋∠4＋∠5
=180度
(因為∠1＋∠4＋∠5必然構成一個平角)

Answer 3

1.内角和公式（n-2）*180
2.設三角形三个顶點為A、B、C，分别對應角A、角B、角C；過點A做直線l平行於直線BC，l與射線AB組成角為B'，l與射線AC组成角為C'，角B'與角B、角C'與角C分别構成内錯角，根據平行線内錯角相等定理，可得：三角形的内角和=角A 角B 角C=角A 角B' 角C'=180度
3.延長三角形ABC各邊，DAB=C B,EBA=A C,FCA=A B
所以DAB EBA FCA=2A 2B 2C=360(三角形外角和为360）
所以A B C=180
以上是一般的證明方式, 另用極限法證明如下
線段AB上方任一點C, 與AB構成一任意三角型ABC, 當C點越遠離線段AB時,角ACB所構成的夾角越小, 當C點無限遠時角C則趨近於0度, 相對此時AC邊與BC邊則趨近於平行,也就是角A與角B近乎90度角, 在此遠離極限下的三個內角的和為0 90 90度=180度
相反的當C點與AB線段極限靠近的時後, 角C為趨近於180度的鈍角, 而角A與角B則為趨近於0度, 在此接進極限下的三個內角和為180 0 0度=180度
所以在極限內的任一點C與AB所構成的三角形內角為180
但以上不能違反三角形三邊為直線的基本定義, 若任一邊不是直線則就不能算是三角形


2007-03-09 04:22:40 補充：
在此討論的是 "平面幾何"

Answer 4

三角形的內角和在歐氏幾何是 180度。為甚麼可以從證明得知。證明除了回答那幾種外還有反證法，並不難。

三角形的內角和在非歐氏幾何不見得 180 度。以前高斯在做大地測量時發現這個結果。高斯的情況是在地球的球面上等海拔取得的三角形，是按照球面切出來的三角形，如果硬要壓扁，度數和會有差別。

Answer 5

因為要算內角合的式子是 ﹝邊長減2﹞*180