凹四邊形外角和也是360度嗎

Question

凹四邊形的外角和是360度嗎,我還蠻有疑問地,因為那個大於180的凹角,它的外角應該算是幾度呀?

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1007030501848.GIF


那要看你怎麼定義大於180度的角度的外角了。
通常我們還是遵守「內角＋外角=180度」，
如此一來，大於180度的角度的外角就會是負角。
如左上圖，∠ABC大於180度，∠ABD小於180度，D,B,C三點共線，
則∠ABC的外角=－∠ABD。
如右上圖，
設凹四邊形PQRS四個內角∠SPQ、∠PQR、∠QRS、∠RSP的外角
分別為∠1、∠2、∠3、－∠4(∠4小於180度)，
在三角形PTS中，∠1=∠4＋∠5，
在三角形TQR中，
∠5=∠PQR＋∠QRS=(180度－∠2)＋(180度－∠3)=360度－∠2－∠3
因此，
∠1=∠4＋∠5=∠4＋360度－∠2－∠3，
移項得∠1＋∠2＋∠3＋(－∠4)=360度，
故凹四邊形的外角和亦為360度。

2007-03-15 19:58:42 補充：
外角=180度－內角，這難道不是定義嗎？

何以見得任意多邊形都會剛好「轉了一圈」？為什麼我要用「走」的？
你如何肯定凹18邊形一下子順時鐘轉，一下子又逆時鐘轉，轉得頭暈腦脹，最後會剛好「轉了一圈」？

這種實際操作的實驗性的證明法我向來不予肯定，這與把三角形的三個頂角
「剪」下來，剛好可以「拼」成一個平角，所以三角形的內角和是180度一樣，我無法相信它。

2007-03-15 20:16:47 補充：
凹五邊形以上可以有2個以上的凹角，所以順時鐘轉可能不只一次，
有了定義，就直接給出結論，這也太過直覺了。
你去走一個不規則五角星形(凹十邊形)看看，我不信你能說服自己剛好轉了一圈(如果是凸十邊形我就勉強接受)。不事先告訴走路者是五角星形，他可能連自己順時鐘轉了「幾次」都不知道，遑論順時鐘轉了「幾度」，更遑論發現剛好轉一圈。
所以我的幾何證明是有必要的，雖然它只適用於凹四邊形。

2007-03-16 11:15:22 補充：
絶對是剛好轉一圈. 也不難證明.
任意的 loop, 只要這 loop 中間沒有彼此 cross, 繞完一圈絶對是 360 度.
證明很簡單...但是說起來很麻煩...

換言之你解答中並無證明這件事，不難證明、很簡單證明，但是說起來很麻煩，所以就不說了。
你覺得很直覺，但數學不是靠直覺，拓撲學有證明？但你有寫出來嗎？

我說為什麼我要用「走」的，意思正是為什麼我要沿著邊行進。不論用走的、跑的、滾的、跳的、看的、翻筋斗還是拿筆在紙上畫，都只是實際操作的實驗。你說這是向量的觀念，那你至少要用向量證明。

2007-03-16 11:17:05 補充：
我相信你知道嚴謹的證明，但你的回答內容就是太簡略(倒是定義寫得很詳細)，讓人覺得靠直覺，數學不能靠直覺的。
說起來很麻煩也不得不說出來，不然我拿最佳解答應是問心無愧，不僅因為我有圖，而且我有證明，不是靠直覺。

2007-03-16 11:25:33 補充：
依此定義, 凹多邊形外角和仍然是 360度。

那我是不是可以說：
sinx=對邊/斜邊，cosx=鄰邊/斜邊，
依此定義，sin(2A)=2sinAcosA會成立？

Answer 2

到下面的網址看看吧

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Answer 3

看你如何定義外角.

我的習慣是這樣...
沿著多邊形的邊上 整體而言 逆時鐘方向走

碰到一個角. 則由一邊轉到另一邊. 轉的角度稱為外角

如果在這個角度的時候轉度 是 逆時鐘方向轉, 則此外角為 正
如果在這個角度的時候轉度 是 順時鐘方向轉, 則此外角為 負

依此定義, 凹多邊形外角和仍然是 360 度

所以大於 180 度那個凹角, 假設是 250 度.
則其對應的外角為 - ( 360 - 250 ) = -110 度

2007-03-06 11:22:50 補充：
不好意思...上面最後一步寫錯了
則其對應的外角為 - ( 250-180 ) = - 70 度

2007-03-13 16:55:41 補充：
投票似乎一面倒.
不過有兩個主要原因, 我認為我的答案其實比較好. 哈

2007-03-13 17:16:11 補充：
首先...
1. 定義要明確.
2. 為何 外角和 = 360度? 要有他的廣義性. 而不是為四邊形量身訂做.

其他等投票結束再說. 因為我不想左右投票結果

2007-03-15 08:53:36 補充：
所以..
1. 何謂外角? 我的答案才有明確定義
2. 在我的定義之下, 任意多邊形的外角和必然是 360 度. ( 因為總共轉了一圈 ). 所以不需要也不建議為 四邊形 量身訂做 一個證明. 畢竟, 不是只有四邊形的外角和是 360 度.

2007-03-16 01:21:54 補充：
我可以確定會剛好轉一圈. 因為多邊形的各邊不會彼此 cross. 這樣就能保證他會剛好轉一圈. 這不是實驗性的證明法.
你再多想想吧. 絶對是剛好轉一圈. 也不難證明.
任意的 loop, 只要這 loop 中間沒有彼此 cross, 繞完一圈絶對是 360 度.
所以你的幾何證明是沒必要的, 因為它只是用凹四邊形

2007-03-16 02:39:14 補充：
而這種中間沒有彼此 cross 的 loop, 稱為 singly connected loop. 也被用到複變積分上. 不過, 還是稍微有點不同. 比較複雜的應用是應用到 DNA folding...有定義 writhe, turn, link...一般生化的書會稍微提到.

如果你很難 直覺 到這種結果, 那麼你可能要去翻閱 拓僕學 看看是否有證明.

我是覺得很直覺:p

你說 為什麼我要用「走」的？ well..你用 跑的 也可以. 我只是說沿著邊行進. 這只是向量的觀念罷了...並不會不嚴謹.

2007-03-16 03:50:52 補充：
證明很簡單...但是說起來很麻煩...
大致上提一下..
繞 圓 一周, 就是 360 度. 任意多邊形都可由 圓 變形而來. 繞一周必然也是 360 度.

2007-03-16 11:45:11 補充：
沒辦法了...我只好發表評論.
轉一圈 360 度 很明顯. 我只是附和你說的直覺. 其實這根本是 well-known.
well-known 的東西不需要從頭證明起.
而且發問者的重點不是在證明這部分.
我都已經告訴你可以看什麼方面的書了, 卻還要我從書本抄過來?

2007-03-16 11:46:31 補充：
" 那我是不是可以說：
sinx=對邊/斜邊，cosx=鄰邊/斜邊，
依此定義，sin(2A)=2sinAcosA會成立？"

這根本是兩回事...
轉一圈 360 度, 這小學生都能理解的

2007-03-16 11:47:05 補充：
你也知道是兩回事吧...否則你也不會舉這麼奇怪的例子