Você é bom em Álgebra?

Question

Então resolva este problema. Garanto que não é difícil. O primeiro que acertar ganha os 10 pts.
Seja x^2 + (q - 3).x - q - 2 = 0. O valor de "q" que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação é...

Answer 1

Pelas relações de Girard, soma das raízes é:
x'+x''=-b/a=3-q
elevando isso ao quadrado:
x'^2+2x'x''+x''^2=(3-q)^2 (I)
Ainda pelas relações de Girard, o produto das raízes é:
x'x''=c/a=-q-2 (II)
Fazendo (I) - 2.(II):
x'^2+x''^2=(3-q)^2-2(-q-2)
x'^2+x''^2=9-6q+q^2+2q+4
x'^2+x''^2=q^2-4q+13
Então, o problema torna-se minimizar a função:
f(q)=q^2-4q+13
Derivando e igualando a zero:
f'(q)=2q-4=0
q=2
Pode-se constatar facilmente que f'(q) muda de negativa para positiva nas imediações de q=2, logo, q é ponto de mínimo de f(q). Então, q=2 minimiza f(q) e, conseqüentemente, x'^2+x''^2.

Se você ainda não estudou derivadas, pode usar o fato (estudado na 8ª série e 1º ano do E.M.) de que toda função do 2º grau com a>0 possui um valor mínimo e que o valor da variável independente que minimiza a parábola é -b/2a (4/2=2).

PS: Gostaria de avisar aos mal-informados que as relações de Girard fazem parte da Álgebra sim, e de pomposas não têm nada, muito pelo contrário, são um conhecimento muito elementar.

Answer 2

Sinceridade não sei nem como começar.

Answer 3

Perdi os 10 pontos. Não sou craque em álgebra, mas tem problemas difíceis como este.

Answer 4

Eita! Que problema massa!

Vou usar só Álgebra, que vc pediu. Nada de Relações de Girard, ou algo pomposo assim.

Você quer minimizar a soma dos quadrados das raízes A e B de um polinômio de segundo grau, ou seja, minimizar M = A^2 + B^2.
Os valores de A e B são dados pela fórmula de Baskara,
A = (-b + \\D\\)/(2a)
B = (-b - \\D\\)/(2a), sendo D = b^2+ 4.a.c.

Na equação que você deu, a = 1, b = q-3 e c = -q-2.

(Estou usando \\ \\ para representar raiz quadrada, ok?)

Então,

M = [(-b + \\D\\)/(2a)]^2 + [(-b - \\D\\)/(2a)]^2 =
(1/4a^2)*{[-b + \\D\\]^2 + [-b - \\D\\]^2} =
(1/4)*{[ b^2 - 2b\\D\\ + D] + [b^2 + 2b\\D\\ + D]} =
(1/4)*{ 2.b^2 + 2.D} =
(1/2)*{b^2 + D}.

Mas

b^2 = (q-3)^2 = q^2 - 6q + 9 e
D = b^2 - 4.a.c = q^2 - 6q + 9 - 4(-q-2) = q^2 - 2q + 17.

Então,

M = (1/2)*(q^2 - 6q + 9 + q^2 - 2q + 17) =
= q^2 - 4q + 13.

Agora é só minimizar isso aí! Não conheço uma forma algébrica simples. O meio mais fácil é derivando...

M' = 2q - 4 = 0 =>

<<< q* = 2 >>>

Ufa! Pergunta legal e, com vc garantiu, não é difícil, mas dá um trabalho.

Se não for analiticamnte, dá pra resolver por método numéricos de otimização não-linear, como Barreira, Penalidades, etc, mas isso é usar um canhão pra matar uma mosca... hehehe

Abraço!

.

Answer 5

q = 5/2.