高職數學．（１０點）

Question

我有３題不會做．我要的是詳解．不要只有答案

１．設ａｂ為兩個正數．試比較ａ的３次方－ｂ的３次方舆３ｂ的平方（ａ－ｂ）之大小？？

２．解不等式．ｘ的３次方－６ｘ的平方＋１１ｘ－６＜０

３．解不等式．２ｘ的３次方＋ｘ平方－５ｘ＋２＞０

Answer 1

比較兩數的大小
基本上用減法
如果 P - Q > 0 =>P > Q
1. 比較 a3 - b3 與 3b2(a - b) 之大小
a3 - b3- 3b2(a - b)
= (a - b)(a2＋ab＋b2) - 3b2(a - b)
= (a - b)(a2＋ab＋b2 - 3b2)
= (a - b)(a2 - b2＋ab - b2)
= (a - b)[(a - b)(a＋b)＋b(a - b)]
= (a - b)2(a＋b＋b)
>= 0
如果 a = b => a3 - b3= 3b2(a - b)
如果 a<> b => a3 - b3> 3b2(a - b) <== a 不等於 b
解不等式的方法
=> 先分解成 (x - a)(x -b)...(x - y)(x - z) 其中 a < b < ... < y < z
=> x > z (最右邊)的部分永遠為正
然後 在不同的區間 以 ＋ - ＋ - 交替的型態出現
=> 看原題目是要求 > 0 (正的區間) 或< 0 (負的區間)
高次式檢驗 一次因式 的方法
a. 檢驗 奇次項係數和 與 偶次項係數和 的關係
若兩者相同 => 有 x＋1的因式
若兩者差一個負號 => 有 x - 1的因式
b. 用一次因式 (x - q/p) 檢驗法
p 為最高次式項的因數, q 為最常數項的因數
2. 解不等式 : x3 - 6x2＋ 11x - 6 < 0
奇次項係數和 : 1 ＋ 11 = 12
偶次項係數和 : -6 - 6 = -12
兩者差一個負號 => 有 x - 1的因式
可用長除法
x3 - 6x2＋ 11x - 6
= (x - 1)(x2- 5x＋ 6)
= (x - 1)(x - 2)(x - 3)
＿＿＿１＿＿＿２＿＿＿３＿＿＿
　－　　　＋　　　－　　　＋
因為問 < 0
所以 x < 1 or 2 < x < 3
3. 解不等式 : 2x3＋ x2- 5x ＋2> 0
奇次項係數和 :2 -5 = -3
偶次項係數和 :1＋2 =3
兩者差一個負號 => 有 x - 1的因式
可用長除法
2x3＋ x2- 5x ＋2
= (x - 1)(2x2＋ 3x- 2)
= (x - 1)(2x - 1)(x ＋ 2)
＿＿ -２＿＿＿ 1/2 ＿＿＿ 1 ＿＿＿
　－　　　＋　　　－　　　＋
因為問> 0
所以 -2 < x < 1/2 or1 < x
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

１．設ａｂ為兩個正數．試比較ａ的３次方－ｂ的３次方舆３ｂ的平方（ａ－ｂ）之大小？？
【解】a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)、3b2*(a－b)
(1)、若a＞b，則a－b＞0且a2＞b2、ab＞b2
∴a2＋ab＋b2＞b2＋b2＋b2＝3 b2
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)＞(a－b) *3b2
∴a3－b3＞3b2*(a－b)
(2)、若a＜b，則a－b＜0且a2＜b2、ab＜b2
∴a2＋ab＋b2＜b2＋b2＋b2＝3 b2
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)＞(a－b) *3b2
∴a3－b3＞3b2*(a－b)
由(1)、(2)得知a3－b3＞3b2*(a－b)
２．解不等式．ｘ的３次方－６ｘ的平方＋１１ｘ－６＜０
【解】X3－6X2＋11X－6＜0
∴(X－1)(X－2)(X－3)＜0
∴X＜1或2＜X＜3
３．解不等式．２ｘ的３次方＋ｘ平方－５ｘ＋２＞０
【解】2X3＋X2－5X＋2＞0
∴(X－1)(2X－1)(X＋2)＞0
∴－2＜X＜1/2或X＞1...