Si dimostri ke tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.
Plzzz aiutatemi, come si fa? T_T
2007-03-01 07:08:59 · 5 risposte · inviata da Everyn 1 in Matematica e scienze ➔ Matematica
innanzitutto se fissiamo il perimetro fissiamo anche il semiperimetro che è la somma di due lati consecutivi se chiamiamo x e y i lati del rettangolo x+y=k con k fissato quindi y=k-x
l'area del rettangolo è x*y=x*(k-x) quindi la funzione che esprime l'area in funzione di un lato è f(x)=x*(x-k)=x^2-kx ora f'(x)=2x-k se cerchiamo un massimo sarà quando la derivata è zero 2x-k=0 ovvero x=k/2 calcolo così y=k-k/2=k/2 quindi y=x ed il rettango di area massima è il quadrato.
lascio a te il verificare che x=k/2 sia effettivamente un massimo (ti basta studiare il segno della derivata). spero di essere stato abbastanza chiaro ciao!
2007-03-01 07:22:00 · answer #1 · answered by gabriele_1986 3 · 0⤊ 0⤋
Chiamiamo un lato x e l'altro z dato il perimetro P si ha
z=(P-2x)/2
A=[(P-2x)/2]*x
detta ora y l'area perchè sia massima la sua derivata deve essere nulla
quindi
y=(P/2)*x-x^2
y'=(P/2)-2x
imponendo y'=0 si ha (P/2) = 2x cioè P=4x da cui x = z e quindi il rettangolo è un quadrato
2007-03-01 15:20:37 · answer #2 · answered by Mai più attivo su answer 4 · 1⤊ 0⤋
Il perimetro di un rettangolo è dato da P=(x+y) *2.
Mentre l'area è data da A=x*y
Ma poniamo y in funzione di x. Avremo perciò: y=P/2 - x.
Da cui: A= P/2*x - x^2.= A(x)
Per far sì che l'area considerata sia massima, la derivata dell'area in funzione di x deve essere uguale a zero.
Per cui:
d/dx (P/2*x - x^2) = P/2 - 2*x = 0
Otteniamo x=P/4.
Sostituiamo nella y e otteniamo y= P/4. Perciò x=y.
CVD
Barry e Gabriele...bravissimi! Io sono arrivato troppo tardi...
Ciao!
2007-03-01 17:40:17 · answer #3 · answered by Pat87 4 · 0⤊ 0⤋
Vai a questo indirizzo e trovi la dimostrazione
http://sefed.supereva.it/mami.pdf
2007-03-01 16:16:31 · answer #4 · answered by *Stella* 1 · 0⤊ 1⤋
Considera un perimetro qualsiasi, ad esempio 36.
la somma di base ed altezza di un rettangolo è pari a 36/2=18
Le possibili combinazioni di base e altezza sono
1*17=17
2*16=32
3*15=45
4*14=56
5*13=65
6*12=72
7*11=77
8*10=80
9*9=81
Ma un rettangolo con base ed altezza uguali è un quadrato! Per cui è dimostrato che un quadrato avrà sempre area maggiore di un rettangolo a parità di perimetro
Non so se esista una regola matematica per dimostrarlo, ma empiricamente abbiamo comunque la certezza di ciò che diciamo!
2007-03-01 15:24:49 · answer #5 · answered by rezorba 3 · 0⤊ 2⤋