Qual a explicação para a fórmula da soma dos termos da PA?

Question

Existe um formula para soma dos termos de uma PA mas, porque ela é assim?

Answer 1

Muitas dessas respostas parecem certas mas precisamos de um pouco mais de rigorosidade, então veja:

Sn é a soma dos n primeiros termos da PA, que por sua vês é

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an -> (1)
Mas também é:
Sn = an + ... + a3 + a2 + a1 -> (2)
Somando Sn de (1) com Sn de (2) teremos:
2 x Sn = a1 + an + a2 + sn-1... + an-1 + a2 + an + a1 -> (3)
Mas como ai = a1 + r(i-1) , com r sendo a razão:
(obs: an-i+1 é o termo que esta na posição n-i+1)
ai + an-i+1 = a1 + r(i-1) + a1 + r(n-i+1-1) = a1 + a1 + r(i-1+n-i+1-1)=
ai + an-i+1 = a1 + a1 +r(n-1) = a1 + an

Assim em (3) teremos:
2 x Sn = a1 + an + a1 + an + ... + a1 + an + a1 + an , (o a1+an aparece n vezes nesta fórmula)
Então:
2 x Sn = n x (a1 + an) => Sn = n x (a1 + an)/2
Como queríamos mostras.

De uma forma mais elegante mas mais complicada é simplesmente testando a fórmula (demonstrando-a) por indução finita*. mas isso dará mais trabalho.

Answer 2

Johann Carl Friedrich Gauss, descobriu aos 7 anos....

vide link abaixo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Answer 3

Em qualquer PA a soma do primeiro termo com o ultimo será igual a soma do segundo com o penultimo e a soma do terceiro com o antepenultimo e assim sucessivamente ou seja:

"A1 + An = A2 + A(n-1)"

e assim por diante

"A1 + An = A3 + A(n-2) = A5 + A(n-4)"

então nós pegamos o valor dessa soma "A1 + An" e multiplicamos pelo número de termos

"(A1 + An)*n"

, como esse valor é resultante da soma de dois termos então temos que dividir por dois para obtermos o valor da soma e não o seu dobro que resulta na formula

"Sn=(A1 + An)*n/2"

Answer 4

A fórmula é (a1+an) * n / 2

Isso significa que se você somar os dois últimos, você terá o mesmo valor que somar o penúltimo com o segundo, o antipenúltimo com o terceiro, e assim sucessivamente, até somar todos os membros. Como para somar você agrupa os números de dois a dois, então o número de vezes que irá somar é n/2.


Abraço

Answer 5

Ela é assim pq os matemáticos antigos consiguiram uma resposta com ela, então a usamos até hoje.

Answer 6

Bom, funciona assim

imagina uma P.A. qualquer, vou pegar em particular a PA 1,2,3,4,5

ok, vamos calcular a soma desses termos

1+2+3+4+5 = 15, o que equivale a
5+4+3+2+1 = 15

certo, mas e se somarmos a linha de cima com a linha de baixo obteríamos o seguinte dado

1+2+3+4+5 = 15
+ 5+4+3+2+1 = 15
----------------------
6+6+6+6+6 = 30 = 6x5
veja que a soma se transformou em soma de numeros 6
ou seja, 1+5 = 2+4 = 3+3 = 6

logo, a soma desses cinco termos poderia ser escrita assim
(1+5) x 5 / 2 (dividido por 2 pois estamos somando duas vezes a PA)

analogamente a esse exemplo, podemos escrever, genericamente, a fórmula da soma da PQ
(a1+an) x n/2