Autovalori?

Question

In generale gli autovalori di una matrice A equivalgono a quelli della sua trasposta A^t ? E con quelli dell'inversa di A, A^(-1) ?
(supponendo che A sia invertibile)

Answer 1

Bella domanda.
Per la trasposta è ovvio.
Sicuro per matrici ortogonali questo è vero, A^(-1)=A^t :-))
Per matrici generiche appartenenti a GL(n) ho trovato che devono essere reciproci..spero sia vero:-))
Ricordo:
i)una matrice invertibile cioe ha rango max non può avere autovalori uguali a 0.
ii)lo spazio di matrici quadrate ha struttura algebrica di anello.

Id=matrice identità
det(A^(-1) - t Id)=det( A^(-1) - t A A^(-1))=det(Id - t A)detA^(-1)

Quindi i suoi autovalori saranno i valori di t tale che:
0=der(Id - t A)= det(-t(A - 1/t Id ))
cambio variabile in 1/t=x
(-1/x)^n det( A - x Id)
Gli x saranno ugauali agli autovalori di A, ma t=1/x.
QED
Se fosse diagonalizzabile sarebbe ancora più immediato:
sia C la matrice diagonalizzante di A (D è una matrice diagonale) cioe:
CAC^(-1)=D
Allora:
AA^(-1)=Id
CAIdA^(-1)C^(-1)=CC^(-1)=Id
CAC^(-1)CA^(-1)C^(-1)=DCA^(-1) C^(-1)=Id
Allora
CA^(-1)C^(-1)=D^(-1)
cioè C è diagonalizzante anche per la sua inversa ma con autovalori reciproci.

Answer 2

Concordo con tutto ciò che ti ha già detto myskin e in più confermo la sua asserzione sul gruppo lineare GL(n) quindi credo che lui meriti subito il 10!