圓與球面試題

Question

＊判斷A(0,1)B(0,6)C(3,0)與D(-1,3)四點是否共圓?
＊已知A(1,1)B(-1,1)兩點,求通過AB兩點且圓心到AB線段的距離等於√3的圓方程式?
＊設一球面的方程式為X2 Y2 Z2 4X-2Y-6Z-35=0若此球面與Y軸相交於AB兩點求AB線段長?
＊設P點為球面X2 Y2 Z2 2X 3Y 4Z 5=0上距離平面2X 3Y 6Z=7最近的一點求P點到平面的距離及P點的坐標?

＊最後一題的P點到平面的距離我的解答是15/7
不知道是哪邊出錯了,還是解答錯誤呢？
＊以後數學上的疑難雜症,等您來解析～

Answer 1

1. 如果是 圓心O 必在 AB 中垂線上 => O (t, 7/2)
AO2 = t2＋(5/2)2, CO2 = (t-3)2＋(7/2)2
兩者相等
=> t2＋(5/2)2 = (t-3)2＋(7/2)2
=> 25 = -24t ＋36＋49
=> t = 5/2
AO2 = 25/2
OD2 = (5/2＋1)2＋(7/2-3)2 = 49/4＋1/4 = 25/2 = AO2
所以四點共圓
2. 圓心 O 在 AB 中垂線上 => O (0, t)
AB = 2, 圓心 O 到AB線段的距離 = √3
=> AO = √(1＋3) = 2 = 半徑
t = 1 ＋- √3 (用看的即可 因為 AB 在 y = 1 直線上)
所以圓方程式 x2 ＋(y - 1 - √3)2 = 4 or x2 ＋(y - 1 ＋ √3)2 = 4
3. 與Y軸相交=> x = 0, z = 0 代入
=> y2 - 2y - 35 = 0
=> (y - 7)(y＋5) = 0
=> y = 7 or -5
AB = 7 - (-5) = 12
4. 球: (x＋1)2＋(y＋3/2)2＋(z＋2)2 = 9/4
球心到平面距離 = | 2(-1)＋3(-3/2)＋6(-2) | / √(4＋9＋36) = 37/14
P 點到平面的距離 = 球心到平面距離 - 球半徑
= 37/14 - 3/2
= 8/7
平面法向量 (2, 3, 6) 過圓心 (-1, -3/2, -2)
=> 圓心到平面垂直投影的直線參數式
x = -1＋2t; y = -3/2＋3t; z= -2＋6t
P 點在球面上, 參數式代入球方程式
(2t)2＋(3t)2＋(6t)2 = 9/4
=> t2 = 9/(4*49)
=> t = ＋- 3/14
=> P 點為 (-1＋ 6/14, -3/2＋9/14, -2＋18/14) or
(-1 - 6/14, -3/2 -9/14, -2 - 18/14)

後續...

2007-03-02 13:10:21 補充：
這個沒有線索可猜
祇好任挑一個去求該點到平面距離
(我自己的計算 取＋的點為所求, 但是為了練習起見
我們挑 - 的來驗證)
| 2(-1 - 6/14)＋3(-3/2 - 9/14)＋6(-2 - 18/14) | / 7
= 153/49 > 37/14
所以取 - 的點是最遠的點
=> P 點為 (-1＋ 6/14, -3/2＋9/14, -2＋18/14) = (-4/7, -6/7, -5/7)

如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-03-02 22:45:45 補充：
對不起
最後一題的P點到平面的距離 是我的錯誤
我漏看了最後的常數項 2X＋ 3Y＋ 6Z = 7
所以
球心到平面距離 = | 2(-1)＋3(-3/2)＋6(-2) - 7 | / √(4＋9＋36) = 51/14
P 點到平面的距離 = 球心到平面距離 - 球半徑
= 51/14 - 3/2
= 15/7

最遠的點 的距離也得修正
| 2(-1 - 6/14)＋3(-3/2 - 9/14)＋6(-2 - 18/14) - 7 | / 7
= 202/49 > 51/14