急！一數學歸納法證明~~

Question

請問如何證明下列式子─
X^2n-Y^2n (n屬於正整數)，能被X-Y整除。

Answer 1

本題不需要用歸納法
不過既然標題如此說我們就先用歸納法證明
1. n = 1 時
x2 - y2 = (x＋y)(x - y)
=> 能被 x - y 整除. 成立.
2. 假設 n <= k 時成立=> (x - y) | x2k - y2k
n = k＋1 時
x2(k＋1) - y2(k＋1)
= [x(k＋1)]2 - [y(k＋1)]2
= [x(k＋1) - y(k＋1)][x(k＋1)＋y(k＋1)]
因為 (x - y) | xk＋1 - yk＋1
(當 k > 1 => k＋1 < 2k, (x - y) | x2k - y2k 對任何小於k 的自然數)
所以 (x - y) | x2(k＋1) - y2(k＋1) 得證
直接證明
x2n - y2n
= (x - y)(x2n-1 - x2n-2y - x2n-3y2 - ... - x2y2n-3 - xy2n-2 - y2n-1)
所以 x2n - y2n 能被 x - y整除
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-03-02 22:41:41 補充：
抱歉 直接證明 的因式分解寫錯了
x2n - y2n
= (x - y)(x2n-1 ＋ x2n-2y ＋x2n-3y2 ＋ ... ＋ x2y2n-3 ＋ xy2n-2 ＋ y2n-1)

Answer 2

X^2n-Y^2n (n屬於正整數)

當 n = 1 時。X^2 - Y^2 = ( X Y ) ( X - Y ) 能被 X - Y 整除

設 n = R 時成立。也就是 RX^2 - RY^2 成立

則 n = R 1 時。。。。。。
　( R 1 ) X^2 - ( R 1 ) Y^2

= ( R 1 ) ( X^2 - Y^2 )

= ( R 1 ) ( X Y ) ( X - Y ) 能被 X - Y 整除

由數學歸納法得知。。。。。

X^2n-Y^2n (n屬於正整數)，能被X-Y整除　成立

2007-03-01 22:31:29 補充：
X^2n-Y^2n (n屬於正整數)

當 n = 1 時。X^2 - Y^2 = ( X 加 Y ) ( X - Y ) 能被 X - Y 整除

設 n = R 時成立。也就是 RX^2 - RY^2 成立

則 n = R 加 1 時。。。。。。
　( R 加 1 ) X^2 - ( R 加 1 ) Y^2

= ( R 加 1 ) ( X^2 - Y^2 )

= ( R 加 1 ) ( X 加 Y ) ( X - Y ) 能被 X - Y 整除

由數學歸納法得知。。。。。

X^2n-Y^2n (n屬於正整數)，能被X-Y整除　成立