令a=1223........問a的3次方/11=?

Question

令a=122333444455555666666777777788888888999999999

問 a的3次方/11 後之餘數為 ?

我看的書上的解法寫著:
因為

(a-11k)的3次方=a的3次方-(3a)的2次方*11k 3a*(11k)的2次方-
(11k)的3次方

所以
a的3次方/11的餘數=(a-11k)的3次方/11的餘數
a的3次方/11的餘數=5的3次方/11的餘數=4

=> 答=4

Answer 1

書上的解法寫著的部分祇是在說明一件事
"a的3次方/11的餘數 ≡ (a/11的餘數)的3次方"
而 那是對任何 被除數, 除數 或次方 都成立的事實
以一般式來說
a的n次方/b的餘數 ≡ (a/b的餘數)的n次方
請注意 我是用 ≡ (等價)的符號, 不是用等號
因為 (a/b的餘數)的n次方 可能大於 b
所以你還需要繼續化簡
其實這題還有一個重點 你沒有寫出
(或許是書上沒有說)
那就是 a/11 的餘數怎麼算
直接做? 當然可以 問題是 你要花多少時間?
想一想 23/11 的餘數 = 2
那 2nn3/11 的餘數 = ?, n 是 0 ~ 9 的一位數
你可以試試看
它的餘數還是 2 (詳細的證明就省略)
換句話說
在任何地方插入連續相同的兩個數 新數與原數 除以 11 的餘數相同
更進一步說
在任何地方插入連續相同的偶數個數 新數與原數 除以 11 的餘數相同
在 a 中, 2, 4, 6, 8 都是連續的偶數個數
所以把它們拿掉不影響餘數
而 3, 5, 7, 9 都是連續的奇數個數
所以我們祇能拿掉偶數個
所以 a/11 的餘數 = 13579/11 的餘數
這時再來做 就簡單多了
=> 13579/11 的餘數 = 5
(這裡還是有快速法: (1＋5＋9) - (3＋7) = 5
為什麼? 我就不再說明
留著讓你自己想)
最後 53/11 = 125/11 = 1 ... 4
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

因(a-11k)的3次方=a的3次方-(3a)的2次方*11k 3a*(11k)的2次方-
(11k)的3次方
則(a-11k)的3次方/11的餘數=[a的3次方/11的餘數-(3a)的2次方*11k 3a*(11k)的2次方/11的餘數-(11k)的3次方/11的餘數]/11的餘數
後兩項都是11的倍數所以被整除只剩下(a-11k)的3次方/11的餘數
這項而a-11k=5的3次方所以得餘數為4