qualkuno sa spiegarmi bene la velocità angolare e il moto armonico?

Question

10 punti al più bravo ..grazie

Answer 1

Moto circolare
Considera un segmento di lunghezza r delimitato dai punti P ed O. Mantenendo fisso il punto O imprimi moto al segmento: esso si muoverà con moto rotatorio “imperniato” sul punto O. In particolare, il punto P descriverà una circonferenza di raggio r e centro O.
Se ora fai coincidere O con l’origine degli assi di un piano cartesiano avrai che due diametri della circonferenza coincidono con gli assi x e y (questo ci serve per condurre le prossime spiegazioni con maggiore comodità). Sempre per comodità immaginiamo che il moto sia uniforme (ma i concetti valgono, con i dovuti adattamenti, anche ad altri casi) e si svolga in senso antiorario.
Indichiamo con Po l’intersezione della circonferenza con il semiasse positivo x e con T il tempo necessario affinché il punto P esegua una rotazione completa partendo da tale punto. T prende il nome di “Periodo” (da cui il nome di “moto periodico”).
Definiamo come “Frequenza di rotazione” (espressa in rotazioni al secondo) la grandezza f=1/T. L’unità di misura è l’Hertz (Hz), pari ad una rotazione completa nel periodo di 1 secondo.
Essendo che la circonferenza è lunga 2*pi*r (pi=p greco=3,14), la velocità del punto P sarà pari a 2*pi*r/T. Tale velocità prende il nome di “Velocità periferica” o “velocità tangenziale” e la indicheremo con Vp. In termini matematici, siccome il numeratore della frazione è direttamente proporzionale al raggio r, ti è facile capire che Vp aumenta all’aumentare di r. La spiegazione in termini fisici è altrettanto semplice: a parità di periodo di rotazione, aumentando r aumenta lo spazio percorso dal punto P nel periodo T e dunque aumenta la velocità.
Se ora invece consideri l’angolo compreso tra il raggio OP ed il semiasse positivo x, esso sarà uguale per tutti i punti del raggio e quindi indipendente dalla misura del raggio stesso. Per questo motivo possiamo definire una nuova grandezza che chiameremo “Velocità angolare” e sarà pari all’angolo percorso dal raggio OP nell’unità di tempo. Per comodità di calcolo e di definizione indicheremo la misura dell’angolo in radianti invece che in gradi sessagesimali.
Un radiante è l’angolo sotteso all’arco di circonferenza di lunghezza pari al raggio, dunque avrà misura pari a l/r (l=lunghezza dell’arco, r=raggio della circonferenza). Sapendo che la circonferenza misura 2*pi*r avremo che l’angolo di 360 gradi corrisponde a 2*pi*r/r, ossia a 2*pi radianti, dunque un angolo giro percorso da OP nel periodo T corrisponde ad una velocità angolare di 2*pi/T radianti al secondo.
A questo punto ci è facile stabilire la corrispondenza tra velocità angolare e velocità periferica. Infatti, essendo che Vp=2*pi*r/T e Va=2*pi/T si avrà molto semplicemente che Vp=Va*r.
Dunque, a differenza di quella periferica, la velocità angolare è costante in ogni punto del raggio OP.
Per completezza, la misura in radianti di un angolo arbitrario a (espresso in gradi) si ottiene grazie ad una semplice proporzione. Infatti si ha che a:360°=rad:2*pi, dunque rad=a*2*pi/360. Quando l’angolo a è pari a 360 gradi arriviamo al caso già visto rad=360*2*pi/360=2*pi.
Immagina ora di tracciare a destra della circonferenza una retta verticale parallela all’asse y e di proiettare su di essa i movimenti del punto P. Se immagini di spostare la retta con moto rettilineo uniforme verso destra, la combinazione dei due movimenti (proiezione del movimento circolare di P e moto rettilineo uniforme della retta) comporrà un grafico che prende il nome di sinusoide in cui il valore dell’ordinata y è pari a r*sen(x), dove x è l’angolo (espresso in radianti) compreso tra il raggio OP e l’asse x e r il raggio della circonferenza. La funzione sen(x) è pari a 0 per un angolo di 0 e di 180 gradi mentre è pari, rispettivamente, a +1 e -1 per angoli di 90 e 270 gradi, quindi l’ordinata massima (positiva e negativa) del grafico sarà pari al raggio r (rispettivamente +r e –r) ed il grafico avrà periodicità pari a 2*pi radianti, ossia si ripeterà identico per ogni punto x+n*2*pi dove n è un qualunque numero intero >=0.
Tale grafico esprime il comportamento di un corpo in moto armonico.

Moto armonico o oscillatorio semplice.
Il caso classico è quello di una massa m appesa ad una molla con costante elastica k.
La molla si allungherà fino a che la sua resistenza all’allungamento sarà pari alla forza esercitata dalla gravità sulla massa m ed il sistema si troverà di nuovo in equilibrio. La lunghezza Lo della molla in questo stato di quiete è detta “punto di riposo”. Se ora tiri il peso verso il basso spostandolo dal punto di riposo fino ad un punto estremo che chiameremo Lb creerai un disequilibrio nel sistema dovuto al fatto che la molla tenderà a reagire alla deformazione richiamando il peso verso la posizione Lo. Siccome la forza di richiamo nel punto di elongazione massima (Lb) è molto maggiore dell’accelerazione gravitazionale il peso verrà trascinato verso l’alto con un’accelerazione iniziale molto alta che tenderà a decrescere gradualmente arrivando a 0 nel punto Lo. A quel punto però l’energia cinetica accumulata da m farà si che il peso superi la posizione Lo proseguendo la sua corsa verso l’alto. Avendo superato il punto di equilibrio, la forza di gravità riprenderà gradualmente il sopravvento sulla forza di richiamo della molla e la corsa di m si arresterà in un punto che chiameremo La per ricominciare a scendere subito dopo con parametri invertiti (peso trascinato verso il basso dalla gravità e frenato dalla forza di richiamo della molla fino a Lb, etc....).
In questo moto abbiamo quindi accelerazione massima nei punti La ed Lb e velocità massima nel punto Lo.
In assenza di attrito il movimento si ripete all’infinito. siccome, invece, operando in atmosfera l’attrito esiste, tali moti sono sempre smorzati perché parte dell’energia viene consumata per contrastare l’attrito e tendono a riportare m in posizione di equilibrio Lo dopo un certo numero di oscillazioni sempre più strette.
Possiamo notare che il periodo di oscillazione T corrisponde a 2*pi*radq(m/k) mentre la frequenza con cui il punto P ritorna allo stesso valore di ordinata è pari a radq(k/m). Tale valore si indica con w(omega) e prende il nome di “pulsazione”. Ricordando che l’ordinata è pari al seno dell’angolo x, la pulsazione prende anche il nome di “frequenza angolare”.
La distanza tra le posizioni La ed Lb prende il nome di “Ampiezza” dell’oscillazione. La posizione Lx in qualunque istante prende il nome di “Elongazione”.
Caso particolare del moto armonico è il pendolo composto da un filo di lunghezza L a cui è appesa una massa m. Anche qui abbiamo una posizione di equilibrio in cui il pendolo è perfettamente verticale e non può muoversi autonomamente in quanto m è trascinata verticalmente verso il basso dall’attrazione gravitazionale. Spostando il pendolo ad una delle estremità del suo percorso di oscillazione si ripeterà il meccanismo descritto prima per la molla ricordando però che qui la forza in gioco è solo una:l’attrazione gravitazionale.
Infatti m cade verso il basso con accelerazione g (=9,8 m/s2) costante ma essendo legata al filo descrive una traiettoria circolare di raggio L fino a Lo dove raggiunge la massima velocità. Da qui prosegue la sua corsa verso l’alto finché la forza di gravità non la ferma e le fa ricominciare il percorso in senso opposto.
Essendo che qualunque massa è sottoposta alla stessa accelerazione di gravità (sempre escludendo gli attriti), possiamo affermare che pendoli di pari lunghezza L oscillano con lo stesso periodo T pur in presenza di masse m diverse (isocronismo dei pendoli dimostrato da Galileo). Infatti il periodo di oscillazione del pendolo è T=2*pi*radq(L/g), dunque non dipende dalla massa ma solamente dalla lunghezza del filo.
Un’ultima osservazione riguarda il bilancio energetico. In entrambi i sistemi entrano in gioco sia l’energia potenziale (forza di richiamo della molla =1/2*k*s2 o accelerazione gravitazionale per il pendolo=m*g*h) sia quella cinetica (1/2*m*v2) e la loro somma è sempre costante.
Infatti, agli estremi La ed Lb l’energia potenziale è massima mentre è =0 quella cinetica (m non si muove), in Lo invece avviene il contrario, essendo che m si muove alla massima velocità mentre il sistema si trova nel suo punto di equilibrio.
Todo claro?
J.

Answer 2

Il concetto di velocità angolare (detta anche frequenza angolare o pulsazione) si applica dove vi siano rotazioni, ma il suo impiego maggiore è nello studio dei moti periodici (circolare, armonico ecc...).


La velocità angolare, detta anche velocità di rotazione, rientra nel concetto generale di velocità di variazione di una grandezza, qualsiasi, in questo caso un angolo.

La velocità angolare è definita dal rapporto fra l'angolo spazzato da un vettore che ruota e il tempo impiegato a compiere questa rotazione. Ossia:


dove ω è la velocità angolare, Δ α è l'angolo percorso e Δ t è l'arco di tempo.

Nel caso di velocità angolare istantanea abbiamo:


Esprimendo tale velocità in forma più concisa possiamo scrivere:


in quanto derivata prima della misura angolare.

Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, la velocità angolare vale:


poiché, nell'arco di tempo T (che è il periodo) l'angolo descritto dal raggio è proprio 2π radianti (angolo giro).

L'unità di misura nel Sistema Internazionale è radianti al secondo (rad · s-1).

La velocità angolare ha le caratteristiche di un vettore assiale. Ha infatti la direzione dell'asse di rotazione, ma non ha simmetria di riflessione su piani che passano per l'asse di rotazione. È usanza rappresentarla con una freccia, come un qualsiasi vettore polare, orientata in funzione del verso di rotazione.

Si definisce moto armonico il moto di un oggetto descrivibile, come funzione del tempo, attraverso l'espressione:

(1)
Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme, in quanto la proiezione del moto circolare su una qualsiasi retta dà luogo ad un moto armonico.

In generale ci si trova di fronte ad un moto armonico ogni qualvolta l'oggetto sia soggetto ad una forza periodica, per esempio elastica (ad esempio quella di una molla) con intensità proporzionale allo spostamento, direzione uguale a quella dello spostamento e verso opposto:

per il moto armonico vedi questo link

http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_armonico

Answer 3

Il concetto di velocità angolare (detta anche frequenza angolare o pulsazione) si applica dove vi siano rotazioni, ma il suo impiego maggiore è nello studio dei moti periodici (circolare, armonico ecc...).


La velocità angolare, detta anche velocità di rotazione, rientra nel concetto generale di velocità di variazione di una grandezza, qualsiasi, in questo caso un angolo.

La velocità angolare è definita dal rapporto fra l'angolo spazzato da un vettore che ruota e il tempo impiegato a compiere questa rotazione. Ossia:


dove ω è la velocità angolare, Δ α è l'angolo percorso e Δ t è l'arco di tempo.

Nel caso di velocità angolare istantanea abbiamo:


Esprimendo tale velocità in forma più concisa possiamo scrivere:


in quanto derivata prima della misura angolare.

Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, la velocità angolare vale:


poiché, nell'arco di tempo T (che è il periodo) l'angolo descritto dal raggio è proprio 2π radianti (angolo giro).

L'unità di misura nel Sistema Internazionale è radianti al secondo (rad · s-1).

La velocità angolare ha le caratteristiche di un vettore assiale. Ha infatti la direzione dell'asse di rotazione, ma non ha simmetria di riflessione su piani che passano per l'asse di rotazione. È usanza rappresentarla con una freccia, come un qualsiasi vettore polare, orientata in funzione del verso di rotazione.

Si definisce moto armonico il moto di un oggetto descrivibile, come funzione del tempo, attraverso l'espressione:

(1)
Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme, in quanto la proiezione del moto circolare su una qualsiasi retta dà luogo ad un moto armonico.

In generale ci si trova di fronte ad un moto armonico ogni qualvolta l'oggetto sia soggetto ad una forza periodica, per esempio elastica (ad esempio quella di una molla) con intensità proporzionale allo spostamento, direzione uguale a quella dello spostamento e verso opposto:


Il moto armonico semplice è sempre descritto da un'equazione della forma (1) dove: A è l'ampiezza delle oscillazioni, T = 2π / ω è il periodo, ovvero la durata di un'oscillazione, mentre x(t) − x0 è l'elongazione.

cmq è descritto tutto in modo più approfondito su www.wikipedia.it