高二數學 平面方程式 3題 (1)

Question

1.包含二平面x 2y-3z=0 及 x-y z=1 之交線且通過點 A( 1,2,1 ) 。求平面方程式~

2.與平面x y z=1 平行且與 A( 3,-5,1 )，且 B( -1,3,7 ) 兩點等距離。求平面方程式~

3.通過 A(0,-1,0)，B(0,0,1)兩點且與xy平面夾60度角。求平面方程式~

Answer 1

1. 包含二平面 x＋ 2y-3z = 0 及 x-y＋ z = 1 之交線
=> 平面方程式: (x＋ 2y-3z)＋k(x-y＋ z- 1) = 0
過點 A(1, 2, 1 ) => 代入
2 ＋k(-1) = 0 => k = 2
平面方程式: 3x - z- 2 = 0
2. .與平面x＋ y＋ z = 1 平行
=> 法向量相同
=> 平面方程式: x＋ y＋ z = k
與 A( 3,-5,1 ), B( -1,3,7 ) 兩點等距離
點到平面等距離
=> | 3 - 5 ＋ 1 - k|/√3 = |-1 ＋3＋7- k|/√3
=> | -1 - k| = |9 - k|
=> -1 -k = 9- k (不合) or -1 - k = k - 9
=> k = 4
平面方程式: x＋ y＋ z = 4
3. 平面方程式a x＋b y＋ cz = 1 ( 平面不過原點)
A(0,-1,0) 代入 => -b = 1 => b = -1
B(0,0,1) 代入 => c = 1
=> 法向量 (a, -1, 1)
與 xy平面夾 60度角
xy平面 ( z= 0) 的法向量 (0, 0, 1)
(a, -1, 1)(0, 0, 1) = | (a, -1, 1) | | (0, 0, 1) | * cos (60)
=> 1 = [√(a2 ＋ 1 ＋ 1)]*(1)*(1/2)
=> 2 = √(a2 ＋ 2)
=> 4 = a2 ＋ 2
=> a = √2
平面方程式:√2 x - y＋ z = 1 or -√2 x - y＋ z = 1
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.